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Séance de cours

Quotient d’une relation

Dans cours

MATH-225: Topologie II - groupes fondamentaux

On étudie des notions de topologie générale: unions et quotients d'espaces topologiques; on approfondit les notions de revêtements et de groupe fondamental,et d'attachements de cellules et on démontre le Théorème de Seifert-van Kampen. Des exemples de surf ...

Description

Cette séance de cours introduit le concept d'espace de quotient par une relation, définissant les relations d'équivalence et la topologie de quotient. Il couvre lunicité et lexistence des cartes de quotient, ainsi que des exemples et des applications.

Enseignant·e·s (2)

Jérôme Scherer

Dimitri Stelio Wyss

Source officielle

Concepts associés (18)

Relation d'équivalence

En mathématiques, une relation d'équivalence permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. vignette|upright=1.5|Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « .

Topologie quotient

En mathématiques, la topologie quotient consiste intuitivement à créer une topologie en collant certains points d'un espace donné sur d'autres, par le biais d'une relation d'équivalence bien choisie. Cela est souvent fait dans le but de construire de nouveaux espaces à partir d'anciens. On parle alors d'espace topologique quotient. Beaucoup d'espaces intéressants, le cercle, les tores, le ruban de Möbius, les espaces projectifs sont définis comme des quotients.

Equivalence class

In mathematics, when the elements of some set have a notion of equivalence (formalized as an equivalence relation), then one may naturally split the set into equivalence classes. These equivalence classes are constructed so that elements and belong to the same equivalence class if, and only if, they are equivalent. Formally, given a set and an equivalence relation on the of an element in denoted by is the set of elements which are equivalent to It may be proven, from the defining properties of equivalence relations, that the equivalence classes form a partition of This partition—the set of equivalence classes—is sometimes called the quotient set or the quotient space of by and is denoted by .

Congruence relation

In abstract algebra, a congruence relation (or simply congruence) is an equivalence relation on an algebraic structure (such as a group, ring, or vector space) that is compatible with the structure in the sense that algebraic operations done with equivalent elements will yield equivalent elements. Every congruence relation has a corresponding quotient structure, whose elements are the equivalence classes (or congruence classes) for the relation. The prototypical example of a congruence relation is congruence modulo on the set of integers.

Espace vectoriel quotient

En algèbre linéaire, l'espace vectoriel quotient E/F d'un espace vectoriel E par un sous-espace vectoriel F est la structure naturelle d'espace vectoriel sur l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence définie de la manière suivante : v est en relation avec w si et seulement si v – w appartient à F. C'est donc l'ensemble des classes [v] = v + F, où v parcourt E, muni des lois suivantes : somme vectorielle : [v] + [w] = [v + w] ; multiplication par un scalaire : λ [v] = [λ v].

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Séances de cours associées (32)

Espaces de quotient : trois façons

Explore trois façons de former des espaces de quotient en utilisant des actions de groupe et des relations d'équivalence.

Homotopie et espaces de quotient

Couvre l'homotopie, les espaces quotients et la propriété universelle en topologie.

Identification de l'espace: SO(3)

Explore l'identification de l'espace SO(3) et la topologie de l'espace SS de R3(R).

Groupes topologiques

Couvre la définition et les exemples de groupes topologiques, en se concentrant sur les actions des groupes sur les espaces.

Espaces et quotients homogènes

Couvre les espaces homogènes, les actions de groupe et la séparation des espaces de quotient en mathématiques.

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Concepts associés (18)

Relation d'équivalence

Topologie quotient

Equivalence class

Congruence relation

Espace vectoriel quotient

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