Relation d'équivalence

En mathématiques, une relation d'équivalence permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. vignette|upright=1.5|Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « ... a le même ISBN que ... » est une relation d'équivalence.Considérons un ensemble de huit exemplaires de livres, comme le montre la figure à droite. Par exemple : deux exemplaires du même dictionnaire Le Robert (en bleu), deux exemplaires d'un même livre de botanique (en vert), trois exemplaires du même livre de mathématiques (en rouge), et un livre de sciences-fiction (en jaune). La relation « ... a le même ISBN que ... » est une relation d'équivalence. Par exemple, Deux exemplaires du même dictionnaire ont le même ISBN et sont donc "en relation". On peut regrouper ces exemplaires ensemble : un paquet avec les deux dictionnaires, un paquet avec les deux livres de botaniques, etc. Les paquets sont les classes d'équivalence. L'ensemble de ces quatre paquets est un ensemble quotient. Comme on le verra dans la définition formelle qui suit, une relation d'équivalence est : réflexive : un exemplaire a le même ISBN que lui-même ; symétrique : si un exemplaire A a le même ISBN que l'exemplaire B alors l'exemplaire B a aussi le même ISBN que A ; transitive : si un exemplaire A a le même ISBN que l'exemplaire B, qui a le même ISBN qu'un exemplaire C, alors l'exemplaire A a le même ISBN que l'exemplaire C. Plus explicitement : ~ est une relation binaire sur E : un couple (x, y) d'éléments de E appartient au graphe de cette relation si et seulement si x ~ y. ~ est réflexive : pour tout élément x de E, on a x ~ x. ~ est symétrique : chaque fois que deux éléments x et y de E vérifient x ~ y, ils vérifient aussi y ~ x.