Topologie quotient

En mathématiques, la topologie quotient consiste intuitivement à créer une topologie en collant certains points d'un espace donné sur d'autres, par le biais d'une relation d'équivalence bien choisie. Cela est souvent fait dans le but de construire de nouveaux espaces à partir d'anciens. On parle alors d'espace topologique quotient. Beaucoup d'espaces intéressants, le cercle, les tores, le ruban de Möbius, les espaces projectifs sont définis comme des quotients. La topologie quotient fournit souvent la façon la plus naturelle de munir un ensemble défini « géométriquement » d'une topologie naturelle. Citons par exemple (voir plus bas) l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension p de Rn. Citons aussi le cas des surfaces de R particulières : les tores à trous. Pour formaliser cette notion, il faut définir l'opération consistant à « ajouter une anse » à une surface. Cela se fait sans trop de difficulté en utilisant la topologie quotient, alors qu'il n'est pas évident du tout de définir de telles surfaces par une équation. Cette notion illustre aussi l'efficacité de la topologie générale par rapport à la théorie des espaces métriques, souvent utilisée comme introduction à la topologie : bien que la topologie de la plupart des exemples décrits ci-dessous puisse être définie par une métrique, une telle métrique n'est pas toujours facile à construire. Soit X un espace topologique et R une relation d'équivalence sur X. On notera p l'application naturelle de X dans X/R qui associe à un élément de X sa classe d'équivalence. La topologie quotient sur X/R est la topologie finale associée à cette application p, c'est-à-dire la plus fine pour laquelle p est continue. Plus explicitement : pour qu'une partie U de X/R soit ouverte, il faut et suffit que p-1(U) soit ouvert dans X. Comme, d'après la théorie élémentaire des ensembles, l' d'une intersection (resp. d'une réunion) est égale à l'intersection (resp. la réunion) des images réciproques, on définit bien ainsi une topologie. Soit Y un espace topologique quelconque.