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Décomposition primaire en anneaux commutatifs

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Dans cours

MATH-311: Algebra IV - rings and modules

Ring and module theory with a major emphasis on commutative algebra and a minor emphasis on homological algebra. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de décomposition primaire en anneaux commutatifs, y compris la décomposition primaire géométrique, les idéaux radicaux et le théorème de Nullstellensatz. L'instructeur explique l'unicité de la décomposition primaire et son application dans un nombre fini d'idéaux premiers.

Enseignant·e·s (2)

Domenico Valloni

Enseignement et PhD Cours Algebraic geometry II - schemes and sheaves MATH-510 Le but de ce cours est d'apprendre les bases du langage moderne des schémas et de la géométrie algébrique.

Zsolt Patakfalvi

See CV here .

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Radical d'un idéal

En algèbre commutative, le radical (aussi appelé la racine) d'un idéal I dans un anneau commutatif A est l'ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à I. Si A est un anneau principal, I est de la forme aA et son radical est l'idéal engendré par le produit des diviseurs irréductibles de a (chaque irréductible — à produit près par un inversible — n'apparaissant qu'une fois dans ce produit). En particulier dans Z, le radical d'un idéal nZ est l'idéal engendré par le radical de l'entier n.

Idéal maximal

Un idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre. Un idéal d'un anneau commutatif est dit maximal lorsqu’il est contenu dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull. Cette définition permet de généraliser la notion d’élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Certains de ces anneaux ont un rôle important en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique.

Algèbre commutative

vignette|Propriété universelle du produit tensoriel de deux anneaux commutatifs En algèbre générale, l’algèbre commutative est la branche des mathématiques qui étudie les anneaux commutatifs, leurs idéaux, les modules et les algèbres. Elle est fondamentale pour la géométrie algébrique et pour la théorie algébrique des nombres. David Hilbert est considéré comme le véritable fondateur de cette discipline appelée initialement la « théorie des idéaux ».

Décomposition primaire

La décomposition primaire est une généralisation de la décomposition d'un nombre entier en facteurs premiers. Cette dernière décomposition, connue depuis Gauss (1832) sous le nom de théorème fondamental de l'arithmétiqueGauss 1832., s'étend naturellement au cas d'un élément d'un anneau principal. Une décomposition plus générale est celle d'un idéal d'un anneau de Dedekind en produit d'idéaux premiers; elle a été obtenue en 1847 par Kummer (dans le formalisme encore peu maniable des « nombres idéaux ») à l'occasion de ses recherches sur le dernier théorème de FermatKummer 1847.

Idéal

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un idéal est un sous-ensemble remarquable d'un anneau : c'est un sous-groupe du groupe additif de l'anneau qui est, de plus, stable par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux sous-espaces vectoriels — qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication externe ; à d'autres égards, ils se comportent comme les sous-groupes distingués — ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'anneau quotient.

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Séances de cours associées (64)

Décomposition primaire : idéal noéthérien

Couvre la décomposition primaire dans les idéaux noéthériens et les idéaux primaires uniques.

Théorie des dimensions des anneaux

Explore la théorie des dimensions des anneaux, en se concentrant sur les chaînes d'idéaux et les idéaux premiers.

Anneaux de division et idéaux

Explore les anneaux de division, les domaines intégraux, les champs et les idéaux en anneaux, avec des exemples et des théorèmes clés.

Éléments idempotents et orthogonaux centraux

Explore les éléments idempotents, les éléments orthogonaux centraux, les anneaux commutatifs et les idéaux premiers dans les anneaux non centraux.

Idéaux et représentations

Couvre les idéaux, les représentations, les modules et les idéaux maximaux en algèbres associatives.

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Concepts associés (32)

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Idéal maximal

Algèbre commutative

Décomposition primaire

Idéal

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