Idéal maximal

Un idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre. Un idéal d'un anneau commutatif est dit maximal lorsqu’il est contenu dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull. Cette définition permet de généraliser la notion d’élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Certains de ces anneaux ont un rôle important en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique. L'arithmétique demande parfois de travailler sur des anneaux d'entiers algébriques. Les théorèmes habituellement utilisés pour les entiers usuels, comme celui de la décomposition en facteurs premiers, ne sont alors plus entièrement vérifiés : la décomposition n'est plus nécessairement unique. Pour pouvoir néanmoins construire la théorie, un autre concept reste opérationnel : celui des idéaux. Dans un anneau principal, les définitions valables pour les éléments, comme irréductible, premier, premiers entre eux dans leur ensemble, pgcd ou encore ppcm, ont des définitions équivalentes pour les idéaux ; en particulier, la notion d'idéal maximal correspond à celle d'éléments irréductibles, largement utilisée dans la théorie des polynômes. Un idéal maximal d'un anneau commutatif A est un idéal I maximal pour l'inclusion parmi les idéaux propres de A ( différents de l'anneau tout entier), que le seul idéal propre de A contenant I est I lui-même. Un élément irréductible est un élément non nul dont l'idéal engendré est maximal parmi les idéaux principaux propres. Cette définition équivaut à : Un élément irréductible est un élément dont toute décomposition en deux facteurs contient un et un seul élément inversible. L'idéal {0} est maximal (dans un anneau commutatif) si et seulement si l'anneau est un corps. Les anneaux possédant un unique idéal maximal ont une importance particulière : ce sont les anneaux locaux (comme l'anneau des entiers p-adiques ou celui des séries formelles sur un corps).