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Théorie des dimensions des anneaux

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Dans cours

MATH-311: Algebra IV - rings and modules

Ring and module theory with a major emphasis on commutative algebra and a minor emphasis on homological algebra. ...

Description

Cette séance de cours couvre la théorie des dimensions des anneaux, en se concentrant sur les anneaux commutatifs avec des éléments d'identité. Il explore le concept de dimension en termes de chaînes d'idéaux, ressemblant à la longueur d'un module. L'instructeur discute des idéaux premiers, des domaines intégraux, des degrés de transcendance et des extensions de champ. La séance de cours explore également la normalisation de Noether et fournit des exemples pour illustrer les concepts théoriques.

Enseignant·e·s (2)

Zsolt Patakfalvi

See CV here .

Domenico Valloni

Enseignement et PhD Cours Algebraic geometry II - schemes and sheaves MATH-510 Le but de ce cours est d'apprendre les bases du langage moderne des schémas et de la géométrie algébrique.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale, Polynôme

Concepts associés (32)

Anneau artinien

En algèbre commutative, un anneau artinien est un anneau vérifiant la condition de chaîne descendante pour ses idéaux. Les anneaux artiniens doivent leur nom au mathématicien autrichien Emil Artin. On dit qu'un anneau commutatif (unitaire) A est un anneau artinien si c'est un A-module artinien, autrement dit, si toute suite décroissante d'idéaux de A est stationnaire. Cela équivaut à dire que tout ensemble non vide d'idéaux de A admet un élément minimal (pour la relation d'inclusion).

Anneau local

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné. Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes : A est local ; ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A et coïncidera avec son radical de Jacobson) ; ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche ; il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible.

Morphisme d'anneaux

Un morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux (unitaires) A et B, compatible avec les lois de ces anneaux et qui envoie le neutre multiplicatif de A sur le neutre multiplicatif de B. Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux (unitaires) A et B qui vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tous a, b dans A : f(a + b) = f(a) + f(b) f(a ∙ b) = f(a) ∙ f(b) f(1A) = 1B.

Idéal premier

En algèbre commutative, un idéal premier d'un anneau commutatif unitaire est un idéal tel que le quotient de l'anneau par cet idéal est un anneau intègre. Ce concept généralise la notion de nombre premier à des anneaux à la structure moins simple d'accès que l'anneau des entiers relatifs. Ils jouent un rôle particulièrement important en théorie algébrique des nombres. thumb|Richard Dedekind (1831-1916), formalisateur du concept d'idéal.

Idéal

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un idéal est un sous-ensemble remarquable d'un anneau : c'est un sous-groupe du groupe additif de l'anneau qui est, de plus, stable par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux sous-espaces vectoriels — qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication externe ; à d'autres égards, ils se comportent comme les sous-groupes distingués — ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'anneau quotient.

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Idéaux et représentations

Couvre les idéaux, les représentations, les modules et les idéaux maximaux en algèbres associatives.

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Couvre des modules simples, des endomorphismes et le lemme de Schur en théorie des modules.

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Couvre la décomposition primaire dans les anneaux commutatifs et son application dans les idéaux premiers.

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Explore les anneaux de Dedekind, les extensions intégrales et les anneaux noéthériens dans les structures algébriques.

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Concepts associés (32)