Séance de cours

Idéaux et représentations

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Dans cours

MATH-334: Representation theory

Study the basics of representation theory of groups and associative algebras. ...

Description

Cette séance de cours couvre les concepts d'idéaux dans une algèbre associative, les représentations, les quotients d'algèbres et les modules sur des anneaux associatifs unitaires. Il traite du lemme de Schur, des opérateurs entrelacés, des représentations dimensionnelles finies irréductibles et des exemples liés aux groupes cycliques. La séance de cours explore également la structure des modules A, les modules A gauche, et leur relation aux espaces vectoriels. En outre, il se penche sur la notion d'idéaux maximaux dans une algèbre, la construction de A-modules, et les propriétés des algèbres simples. La présentation se termine par une discussion sur la structure des R-modules, des sous-modules et de la structure naturelle des R-modules.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale, Théorie des représentations

Concepts associés (32)

Module sur un anneau

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, au sein des structures algébriques, : pour un espace vectoriel, l'ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet ensemble est seulement muni d'une structure d'anneau (unitaire, mais non nécessairement commutatif). Une partie des travaux en théorie des modules consiste à retrouver les résultats de la théorie des espaces vectoriels, quitte pour cela à travailler avec des anneaux plus maniables, comme les anneaux principaux.

Faisceau (de modules)

En mathématique, un faisceau de modules est un faisceau sur un espace localement annelé qui possède une structure de module sur le faisceau structural . Sur un espace localement annelé , un faisceau de -modules (ou un -Module) est un faisceau sur tel que soit un -module pour tout ouvert , et que pour tout ouvert contenu dans , l'application restriction soit compatible avec les structures de modules: pour tous , on a Les notions de sous--modules et de morphismes de -modules sont claires.

Catégorie des modules

En mathématiques, la catégorie des modules sur un monoïde R est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées dans l'étude des modules sur un anneau, en les généralisant. L'étude de catégories de modules apparaît naturellement en théorie des représentations et en géométrie algébrique. Puisqu'un R-module est un espace vectoriel lorsque R est un corps commutatif, on peut dans un tel cas identifier la catégorie des modules sur R à la sur le corps R.

Idéal maximal

Un idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre. Un idéal d'un anneau commutatif est dit maximal lorsqu’il est contenu dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull. Cette définition permet de généraliser la notion d’élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Certains de ces anneaux ont un rôle important en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique.

Module projectif

En mathématiques, un module projectif est un module P (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme surjectif f : N → M entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : P → M, il existe un morphisme h : P → N tel que g = fh, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute : center Autrement dit : P est projectif si pour tout module N, tout morphisme de P vers un quotient de N se factorise par N.

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Faisceau (de modules)

Catégorie des modules

Idéal maximal

Module projectif

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