Faisceau (de modules)

En mathématique, un faisceau de modules est un faisceau sur un espace localement annelé qui possède une structure de module sur le faisceau structural . Sur un espace localement annelé , un faisceau de -modules (ou un -Module) est un faisceau sur tel que soit un -module pour tout ouvert , et que pour tout ouvert contenu dans , l'application restriction soit compatible avec les structures de modules: pour tous , on a Les notions de sous--modules et de morphismes de -modules sont claires. Le faisceau structural est un faisceau de -modules. Les sous-modules de sont des faisceaux d'idéaux de . Si est un morphisme de faisceaux de -modules, alors le noyau, l'image et le conoyau de sont des faisceaux de -modules. Le quotient de par un sous--Module est un -Module. Si est un ensemble d'indice, la somme directe est définie sur chaque ouvert comme étant , la somme directe de copies de indexées par . C'est un faisceau de -modules libre. Un faisceau de -modules est dit localement libre (de rang ) si tout point de possède un voisinage ouvert sur lequel est libre (de rang ). Si sont des faisceaux de -modules, on définit le faisceau des morphismes de dans par(le -module des applications linéaires ). Le dual de est le faisceau des morphismes de dans . Le faisceau associé au préfaisceau est noté . Ses germes en est canoniquement isomorphe à . Soit un morphisme d'espaces localement annelés. Soit un faisceau de -modules. Alors l'image directe est un faisceau de -module. Soit un faisceau de -modules. On définit l'image réciproque (à distinguer de l'image réciproque ) comme étant le produit tensoriel . On a isomorphe à pour tout dans . On dit qu'un faisceau de -modules est engendré par ses sections globales si pour tout point de , l'image de l'homomorphisme canonique engendre comme -module. Cela équivaut à dire qu'il existe un morphisme surjectif de faisceaux de -modules , où est un faisceau de -modules libre. On dit que est quasi-cohérent si tout point de possède un voisinage ouvert dans lequel est un quotient d'un faisceau de -module libre.