Loi binomiale négative

En probabilité et en statistiques, une loi binomiale négative est la distribution de probabilité discrète du nombre d'échecs dans une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées jusqu'à avoir un nombre fixe n de succès. Par exemple, c'est la distribution de probabilité du nombre de piles obtenus dans une série de pile ou face jusqu'à avoir vu n faces. Plus précisément, elle décrit la situation suivante : une expérience consiste en une série de tirages indépendants, donnant un succès avec probabilité p (constante durant toute l'expérience) et un échec avec une probabilité complémentaire 1-p. Cette expérience se poursuit jusqu'à l'obtention d'un nombre donné n de succès. La variable aléatoire représentant le nombre d'échecs, avant l'obtention du nombre donné n de succès, suit alors une loi binomiale négative. Ses paramètres sont : le nombre n de succès attendus, et la probabilité p d'un succès. Le paramètre n se note parfois r, comme sur l'illustration ci-contre. La loi se généralise à deux paramètres r et p, où r peut prendre des valeurs réelles strictement positives. Cette généralisation est aussi connue sous le nom de loi de Pólya, en l'honneur du mathématicien George Pólya. La loi binomiale négative dépend de deux paramètres, mais plusieurs autres paramétrisations sont envisageables. Une paramétrisation très répandue introduit un entier naturel n non nul et un réel non nul p compris entre 0 et 1. Il est courant d'introduire la probabilité complémentaire q = 1 – p. La fonction de masse d'une variable aléatoire distribuée selon une loi binomiale négative de paramètres n et p prend la forme suivante : où est un coefficient binomial. La loi binomiale négative s'interprète comme la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui compte le nombre d'échecs observés avant l'obtention de n succès pour une série d'expériences indépendantes, sachant que la probabilité d'un succès est p.