vignette|300 px|La 3-sphère en rotation, projetée dans R3. En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une 3-sphère est l'analogue d'une sphère en dimension quatre. C'est l'ensemble des points équidistants d'un point central fixé dans un espace euclidien à 4 dimensions. Tout comme une sphère ordinaire (ou 2-sphère) est une surface bidimensionnelle formant la frontière d'une boule en trois dimensions, une 3-sphère est un objet à trois dimensions formant la frontière d'une boule à quatre dimensions. Une 3-sphère est un exemple de variété (différentielle) de dimension 3. Les 3-sphères sont aussi fréquemment appelées des hypersphères, mais ce terme peut en général être utilisé pour décrire n'importe quelle n-sphère pour n ≥ 3. En coordonnées cartésiennes, une 3-sphère de centre (C0, C1, C2, C3) et de rayon r est l'ensemble de tous les points (x0, x1, x2, x3) de l'espace (à 4 dimensions) réel R4 tels que : La 3-sphère centrée à l'origine et de rayon 1 s'appelle la 3-sphère unité, et est généralement notée S3 : Il est souvent commode d'identifier R4 avec l'espace à deux dimensions complexes (C2), ou avec l'ensemble des quaternions (H). La 3-sphère unité est alors donnée par : ou : Cette dernière description est souvent la plus utile : tout comme le cercle unité du plan complexe est important dans l'étude des coordonnées polaires, la 3-sphère joue un rôle dans la représentation polaire utilisée pour le produit des quaternions (voir forme polaire des quaternions pour plus de détails). Le volume tridimensionnel (encore appelé hyperaire) de la 3-sphère de rayon r est : alors que l'hypervolume (le volume de la région 4-dimensionnelle borné par la 3-sphère) est : Chaque intersection non vide d'une 3-sphère avec un hyperplan (tridimensionnel) est une 2-sphère, sauf si l'hyperplan est tangent à la 3-sphère, auquel cas l'intersection est réduite à un point. En déplaçant une 3-sphère à travers un hyperplan fixé, l'intersection est d'abord un point, puis devient une 2-sphère de rayon croissant jusqu'à atteindre le rayon de la 3-sphère lorsque l'hyperplan passe par son centre, et décroit à nouveau pour se réduire à un point quand la 3-sphère quitte l'hyperplan.