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Séance de cours

Le théorème de la courbe de Jordan

Dans cours

MATH-323: Topology III - Homology

Homology is one of the most important tools to study topological spaces and it plays an important role in many fields of mathematics. The aim of this course is to introduce this notion, understand its properties and learn how to compute it. There will be m ...

Description

Cette séance de cours couvre le théorème de la courbe de Jordan, qui stipule qu'une simple courbe fermée divise le plan en exactement deux régions, un intérieur et un extérieur. Le théorème est illustré par le concept de sphères incorporées et de cartes continues, mettant l'accent sur les propriétés d'incorporation, d'homéomorphisme et de compacité. La présentation progresse pour discuter des composantes reliées au chemin et des implications du théorème en topologie.

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Regarder sur Mediaspace

Enseignant·e

Leonid Monin

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: General topology

Concepts associés (32)

N-sphère

En géométrie, la sphère de dimension n, l'hypersphère ou n-sphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. L'hypersphère constitue un des exemples les plus simples de variété, elle est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien , notée en général . Soient E un espace euclidien de dimension n + 1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Sphère cornue d'Alexander

En mathématiques, et plus précisément en topologie, la sphère cornue d'Alexander est un célèbre exemple de surface pathologique ; elle fut découverte en 1923 par J. W. Alexander. vignette|Construction animée de la sphère d'Alexandre. Il semble évident qu'une courbe fermée simple (ne se recoupant pas) du plan le découpe en deux régions (l'intérieur et l'extérieur) et qu'on peut déformer la courbe (et les deux régions séparées) pour la transformer en un cercle.

3-sphère

vignette|300 px|La 3-sphère en rotation, projetée dans R3. En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une 3-sphère est l'analogue d'une sphère en dimension quatre. C'est l'ensemble des points équidistants d'un point central fixé dans un espace euclidien à 4 dimensions. Tout comme une sphère ordinaire (ou 2-sphère) est une surface bidimensionnelle formant la frontière d'une boule en trois dimensions, une 3-sphère est un objet à trois dimensions formant la frontière d'une boule à quatre dimensions.

Sphère d'homologie

En topologie algébrique, une sphère d'homologie (ou encore, sphère d'homologie entière) est une variété X de dimension n ≥ 1 qui a les mêmes groupes d'homologie que la n-sphère standard S, à savoir : H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z) et Hi(X,Z) = {0} pour tout autre entier i. Une telle variété X est donc connexe, fermée (i.e. compacte et sans bord), orientable, et avec (à part b0 = 1) un seul nombre de Betti non nul : bn. Les sphères d'homologie rationnelle sont définies de façon analogue, avec l'homologie à coefficients rationnels.

Connexité (mathématiques)

La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié. Soit un espace topologique E. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes : E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ; E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ; les seuls ouverts-fermés de E sont ∅ et E ; toute application continue de E dans un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète est constante.

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N-sphère

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