La théorie de la commande optimale permet de déterminer la commande d'un système qui minimise (ou maximise) un critère de performance, éventuellement sous des contraintes pouvant porter sur la commande ou sur l'état du système. Cette théorie est une généralisation du calcul des variations. Elle comporte deux volets : le principe du maximum (ou du minimum, suivant la manière dont on définit l'hamiltonien) dû à Lev Pontriaguine et à ses collaborateurs de l'institut de mathématiques Steklov , et l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman, généralisation de l'équation de Hamilton-Jacobi, et conséquence directe de la programmation dynamique initiée aux États-Unis par Richard Bellman. La théorie de la commande optimale fait partie de l'automatique et des mathématiques appliquées (optimisation des processus). En tant que cette théorie généralise le calcul des variations, elle a également un champ d'application en physique mathématique, et les développements théoriques actuels rejoignent les mathématiques pures. Les idées sous-jacentes au principe du maximum et à la programmation dynamique sont fort anciennes et ont été intimement liées dès leur préhistoire. Elles ont été développées de manière indépendante et pratiquement simultanée, vers le milieu des années 1950, et elles continuent aujourd’hui d’avoir de nombreuses connexions. La programmation dynamique a pour origine le principe de Huygens pour la propagation de la lumière : c’est le fameux principe des « sources intermédiaires » qui interprète les phénomènes de réflexion et de réfraction en supposant la propagation d'ondelettes sphériques secondaires issues d'une onde sphérique principale ; le principe d'Huygens est lui-même fondé sur le principe de Fermat qui postule que la lumière suit le trajet dont le temps de propagation est minimal. Le principe du maximum est une généralisation des équations d' Hamilton du calcul des variations.