Théorie du contrôle

En mathématiques et en sciences de l'ingénieur, la théorie du contrôle a comme objet l'étude du comportement de systèmes dynamiques paramétrés en fonction des trajectoires de leurs paramètres. On se place dans un ensemble, l'espace d'état sur lequel on définit une dynamique, c'est-à-dire une loi mathématiques caractérisant l'évolution de variables (dites variables d'état) au sein de cet ensemble. Le déroulement du temps est modélisé par un entier . La dynamique de l'état du système ne dépend généralement que de l'état du système à l'état précédent et de la valeur d'un paramètre a priori exogène (le paramètre de contrôle) noté et qui prend ses valeurs dans un ensemble . La dynamique du système est alors totalement définie par une fonction et un point de départ ; elle s'écrit: La question principale de la théorie du contrôle est : quel est le comportement de en fonction de celui de ?, par exemple peut-on choisir une suite de contrôles de telle sorte que vaille , une valeur cible choisie par ailleurs?. Le système (D1) qui est discret (le temps ne prend que des valeurs entières) a un équivalent continu (le temps s'écoule continument), que l'on peut écrire: Dans ce contexte est la dérivée temporelle de à l'instant , il est donc nécessaire de munir d'une structure donnant accès à la dérivation (par exemple une structure d'espace vectoriel normé). la conduite d'une voiture est un système dynamique contrôlé: le contrôle est l'angle du volant, les pressions exercée sur le frein et sur l'accélérateur, et l'état est la position de la voiture sur la route. le jeu de tennis est un système dynamique contrôlé: le contrôle est ma position sur le court ainsi que la position et le mouvement de ma raquette, et l'état est la position de la balle. le pilotage d'une torpille est aussi un système dynamique contrôlé: le contrôle est la position de ses aillettes, et l'état la position de la torpille. Ces exemples montrent que l'objectif du contrôle est qualitativement assez naturel.