En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté . La sphère de Riemann, obtenue en ajoutant au plan complexe un point à l'infini, est une variété complexe unidimensionnelle, également appelée une surface de Riemann. En analyse complexe, la sphère de Riemann permet une expression élégante de la théorie des fonctions méromorphes. La sphère de Riemann est omniprésente en géométrie projective et en géométrie algébrique comme exemple fondamental d'une variété complexe, d'un espace projectif, et d'une variété algébrique. Elle a également une utilité dans d'autres disciplines qui dépendent de l'analyse et de la géométrie, telle que la physique quantique (représentation des états quantiques) et d'autres branches de la physique (théorie des twisteurs par exemple). La projection stéréographique, par exemple sur le plan équatorial à partir du pôle Nord, permet de voir que la sphère est homéomorphe au plan complété du point à l'infini . Inversement, on passe du plan à la sphère en ajoutant un pôle, projection du point à l'infini noté . Le plan s'identifie à . La sphère de Riemann, c'est la sphère usuelle envisagée de ce point de vue, autrement dit la droite projective complexe. Le théorème d'uniformisation assure que c'est l'unique variété complexe de dimension 1 compacte et simplement connexe. Plus généralement, l'espace est homéomorphe à la sphère (sphère unité de l'espace euclidien ) privée d'un point. En effet, est le compactifié d'Alexandrov de . C'est l'ensemble des droites vectorielles de . Une telle droite étant définie par un vecteur non nul, défini à un coefficient de proportionnalité près, on peut la voir comme quotienté par la relation d'équivalence si et seulement s'il existe un nombre complexe non nul tel que On la note , et on note le point associé à .