Limite d'une suite

En mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». Cette notion sous-entend l'existence d'une distance (induite par la valeur absolue dans R, par le module dans C, par la norme dans un espace vectoriel normé) mais on verra que l'on peut même s'en passer pourvu qu'on ait une topologie. Dans cet article seront présentées d'abord la notion de limite de suite réelle, puis celle de suite complexe et seulement après, quitte à être redondant, celle de limite dans un espace topologique. Si la formalisation de la limite d'une suite vient assez tard, son utilisation intuitive date de plus de . Dans les Éléments d'Euclide (X.1), on peut lire : . En langage actuel, cela donnerait : soit (on notera simplement u) une suite de réels positifs telle que, pour tout n, u < u/2, alors, pour tout réel strictement positif e, il existe un indice n tel que u < e. Cette définition est proche de la définition moderne d'une suite ayant pour limite 0. Si on pourrait croire que cette interprétation du dixième élément d'Euclide est une modernisation fallacieuse, on peut s'assurer que cette affirmation est fausse en regardant l'utilisation qu'en fait Archimède dans ses méthodes de quadrature. Cherchant à calculer l'aire du disque ou l'aire sous une parabole, par exemple, il cherche à l'approcher par des aires de polygones et observe alors la différence entre l'aire cherchée et l'aire du polygone. Il démontre qu'à chaque étape, cette différence a été réduite de plus de la moitié et c'est ainsi qu'il conclut qu'en continuant indéfiniment le processus on sera aussi proche qu'on le souhaite de l'aire cherchée. C'est la « méthode d'exhaustion ». Cette intuition de la limite mal formalisée ne permettra cependant pas de lever les paradoxes de Zénon, comme celui d'Achille et de la tortue : Achille part avec un handicap A et court deux fois plus vite que la tortue.