Hypothèse de Riemann généralisée

L'hypothèse de Riemann est l'une des plus importantes conjectures des mathématiques et concerne les zéros de la fonction ζ de Riemann. Divers objets géométriques et arithmétiques peuvent être décrits par ce que l'on appelle les fonctions L globales, qui sont similaires formellement à la fonction zêta de Riemann. On peut alors se poser la même question à propos des zéros de ces fonctions L, fournissant diverses généralisations de l'hypothèse de Riemann. Aucune de ces conjectures n'a été confirmée ou infirmée par une démonstration, mais beaucoup de mathématiciens croient qu'elles sont vraies. Les fonctions L globales peuvent être associées aux courbes elliptiques, aux corps de nombres (dans ce cas, elles sont appelées fonctions zêta de Dedekind), aux , et aux caractères de Dirichlet (dans ce cas, elles sont appelées fonctions L de Dirichlet). Lorsque l'hypothèse de Riemann est formulée pour les fonctions zêta de Dedekind, elle est connue sous le nom d'hypothèse de Riemann étendue (HRE) et lorsqu'elle est formulée pour les fonctions L de Dirichlet, elle est connue sous le nom d'hypothèse de Riemann généralisée (HRG). L'hypothèse de Riemann généralisée a sans doute été formulée pour la première fois par en 1884. De même que l'hypothèse de Riemann originelle, elle a d'importantes conséquences sur la répartition des nombres premiers. Un caractère de Dirichlet est une fonction arithmétique complètement multiplicative χ pour laquelle il existe un entier naturel k > 0 tel que, pour tout entier n, on ait χ(n + k) = χ(n) et χ(n) = 0 si n n'est pas premier avec k. On définit la fonction L de Dirichlet d'un tel caractère par : pour tout nombre complexe s de partie réelle > 1. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe définie sur tout le plan complexe. L'énoncé de l'hypothèse de Riemann généralisée est le suivant : Le cas du caractère trivial (χ(n) = 1 pour tout n) correspond à l'hypothèse de Riemann ordinaire. Soient a et d deux entiers naturels premiers entre eux, avec d non nul.