En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du : elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale. Comme pour les six autres problèmes du millénaire, l'énoncé exact de la conjecture à démontrer est accompagné d'une description détaillée, fournissant de nombreuses informations sur l'historique du problème, son importance, et l'état des travaux à son sujet ; beaucoup des remarques informelles de cette page en proviennent. Fonction zêta de Riemann La fonction zêta de Riemann est définie pour tous les nombres complexes s de partie réelle strictement supérieure à 1 par Leonhard Euler l’introduit (sans lui donner de nom) uniquement pour des valeurs réelles de l’argument (mais aussi pour ), en liaison, entre autres, avec sa solution du problème de Bâle. Il montre qu'elle est donnée par le produit eulérien où le produit infini porte sur tous les nombres premiers p, mais ne converge pas forcément : en effet, dans le Théorème 7 de son article, Euler donne une démonstration de cette formule pour le cas (tout en notant que ), et il l’établit en général dans son Théorème 8. C'est ce résultat qui explique l'intérêt de la fonction zêta dans l'étude de la répartition des nombres premiers (Euler déduit par exemple du cas , dans le Théorème 19 du même article que la série des inverses des nombres premiers est divergente). Le résultat reste bien entendu valable lorsque l’argument est complexe. L'hypothèse de Riemann porte sur les zéros de cette fonction en dehors du domaine de convergence qu'on vient de voir, ce qui peut sembler n'avoir aucun sens.