Équations de Navier-Stokesthumb|Léonard de Vinci : écoulement dans une fontaine En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent le mouvement des fluides newtoniens (donc des gaz et de la majeure partie des liquides). La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase est difficile, et l'existence mathématique de solutions des équations de Navier-Stokes n'est pas démontrée.
Dynamique des fluidesLa dynamique des fluides (hydrodynamique ou aérodynamique), est l'étude des mouvements des fluides, qu'ils soient liquides ou gazeux. Elle fait partie de la mécanique des fluides avec l'hydrostatique (statique des fluides). La résolution d'un problème de dynamique des fluides demande de calculer diverses propriétés des fluides comme la vitesse, la viscosité, la densité, la pression et la température en tant que fonctions de l'espace et du temps.
Mécanique des fluidesLa mécanique des fluides est un domaine de la physique consacré à l’étude du comportement des fluides (liquides, gaz et plasmas) et des forces internes associées. C’est une branche de la mécanique des milieux continus qui modélise la matière à l’aide de particules assez petites pour relever de l’analyse mathématique, mais assez grandes par rapport aux molécules pour être décrites par des fonctions continues. Elle comprend deux sous-domaines : la statique des fluides, qui est l’étude des fluides au repos, et la dynamique des fluides, qui est l’étude des fluides en mouvement.
Écoulement de StokesUn écoulement de Stokes (ou écoulement rampant) caractérise un fluide visqueux qui s'écoule lentement en un lieu étroit ou autour d'un petit objet, dont les effets visqueux dominent alors sur les effets inertiels. On parle parfois de fluide de Stokes par opposition à fluide parfait. Il est en effet régi par une version simplifiée de l'équation de Navier-Stokes, léquation de Stokes, dans laquelle les termes inertiels sont absents.
Loi de StokesLa loi de Stokes, nommée en l'honneur de George Stokes (1819 – 1903), est une loi donnant la force de traînée hydrodynamique s'exerçant sur une sphère en déplacement dans un fluide. Si le nombre de Reynolds est très inférieur à 1 (écoulement rampant) et si la sphère est suffisamment loin de tout autre corps, de tout obstacle ou paroi latérale (on considère une paroi éloignée d'au moins dix fois le rayon de la sphère), alors la force de traînée hydrodynamique qui s'exerce sur une sphère de diamètre est : où est la viscosité dynamique du fluide (en ) et le diamètre de la sphère.
Analyse numériqueL’analyse numérique est une discipline à l'interface des mathématiques et de l'informatique. Elle s’intéresse tant aux fondements qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique. Plus formellement, l’analyse numérique est l’étude des algorithmes permettant de résoudre numériquement par discrétisation les problèmes de mathématiques continues (distinguées des mathématiques discrètes).
Stabilité numériqueEn analyse numérique, une branche des mathématiques, la stabilité numérique est une propriété globale d’un algorithme numérique, une qualité nécessaire pour espérer obtenir des résultats ayant du sens. Une définition rigoureuse de la stabilité dépend du contexte. Elle se réfère à la propagation des erreurs au cours des étapes du calcul, à la capacité de l’algorithme de ne pas trop amplifier d’éventuels écarts, à la précision des résultats obtenus. Le concept de stabilité ne se limite pas aux erreurs d’arrondis et à leurs conséquences.
Mécanique des fluides numériqueLa mécanique des fluides numérique (MFN), plus souvent désignée par le terme anglais computational fluid dynamics (CFD), consiste à étudier les mouvements d'un fluide, ou leurs effets, par la résolution numérique des équations régissant le fluide. En fonction des approximations choisies, qui sont en général le résultat d'un compromis en termes de besoins de représentation physique par rapport aux ressources de calcul ou de modélisation disponibles, les équations résolues peuvent être les équations d'Euler, les équations de Navier-Stokes, etc.
Stokes' paradoxIn the science of fluid flow, Stokes' paradox is the phenomenon that there can be no creeping flow of a fluid around a disk in two dimensions; or, equivalently, the fact there is no non-trivial steady-state solution for the Stokes equations around an infinitely long cylinder. This is opposed to the 3-dimensional case, where Stokes' method provides a solution to the problem of flow around a sphere. The velocity vector of the fluid may be written in terms of the stream function as The stream function in a Stokes flow problem, satisfies the biharmonic equation.
Fluide (matière)Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les liquides, les gaz et les plasmas. Gaz et plasmas sont très compressibles, tandis que les liquides le sont très peu (à peine plus que les solides). La transition de l'état liquide à l'état gazeux (ou réciproquement) est en général de premier ordre, c'est-à-dire brusque, discontinue.
Fluide incompressibleUn fluide incompressible est un fluide dont le volume est considéré comme constant quelle que soit la pression qu'il subit, tout fluide étant en réalité sensible à la pression. Par nature, tous les fluides sont compressibles, certains plus que d'autres, et en phase gazeuse considérablement plus qu'en phase liquide. La compressibilité d'un fluide mesure la variation de volume d'une certaine quantité de ce fluide lorsqu'il est soumis à une pression extérieure.
Numerical methods for ordinary differential equationsNumerical methods for ordinary differential equations are methods used to find numerical approximations to the solutions of ordinary differential equations (ODEs). Their use is also known as "numerical integration", although this term can also refer to the computation of integrals. Many differential equations cannot be solved exactly. For practical purposes, however – such as in engineering – a numeric approximation to the solution is often sufficient. The algorithms studied here can be used to compute such an approximation.
Algorithme génétiqueLes algorithmes génétiques appartiennent à la famille des algorithmes évolutionnistes. Leur but est d'obtenir une solution approchée à un problème d'optimisation, lorsqu'il n'existe pas de méthode exacte (ou que la solution est inconnue) pour le résoudre en un temps raisonnable. Les algorithmes génétiques utilisent la notion de sélection naturelle et l'appliquent à une population de solutions potentielles au problème donné.
Équations d'EulerEn mécanique des fluides, les équations d'Euler sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l'écoulement des fluides (liquide ou gaz) dans l’approximation des milieux continus. Ces écoulements sont adiabatiques, sans échange de quantité de mouvement par viscosité ni d'énergie par conduction thermique. L'histoire de ces équations remonte à Leonhard Euler qui les a établies pour des écoulements incompressibles (1757).
Fluide newtonienOn appelle fluide newtonien (en hommage à Isaac Newton) un fluide dont la loi contrainte – vitesse de déformation est linéaire. La constante de proportionnalité est appelée viscosité. Viscosité L’équation décrivant le « comportement newtonien » en description eulérienne est : où : est la contrainte de cisaillement exercée par le fluide (à l'origine des forces de traînée), exprimée en Pa ; est la viscosité dynamique du fluide — une constante de proportionnalité caractéristique du matériau, en ; est le gradient de vitesse perpendiculaire à la direction de cisaillement, en s−1.
Calcul numérique d'une intégraleEn analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d’une variable sur un intervalle). Ces techniques procèdent en trois phases distinctes : Décomposition du domaine en morceaux (un intervalle en sous-intervalles contigus) ; Intégration approchée de la fonction sur chaque morceau ; Sommation des résultats numériques ainsi obtenus.
Sciences numériquesLes sciences numériques (traduction de l'anglais computational sciences), autrement dénommées calcul scientifique ou informatique scientifique, ont pour objet la construction de modèles mathématiques et de méthodes d'analyse quantitative, en se basant sur l'utilisation des sciences du numérique, pour analyser et résoudre des problèmes scientifiques. Cette approche scientifique basée sur un recours massif aux modélisations informatiques et mathématiques et à la simulation se décline en : médecine numérique, biologie numérique, archéologie numérique, mécanique numérique, par exemple.
Fonction de courantLa fonction de courant en physique, en particulier en mécanique des fluides, est une fonction (à valeurs complexes) définie pour des écoulements de différents types. Elle donne le paramètre de la composante non divergente de n'importe quel champ de vitesse dont la valeur est constante le long de chaque ligne de courant. Elle peut donc être utilisée pour représenter les lignes de courant d'un fluide, correspondant aux trajectoires de particules dans un écoulement stationnaire.
Numerical methods for partial differential equationsNumerical methods for partial differential equations is the branch of numerical analysis that studies the numerical solution of partial differential equations (PDEs). In principle, specialized methods for hyperbolic, parabolic or elliptic partial differential equations exist. Finite difference method In this method, functions are represented by their values at certain grid points and derivatives are approximated through differences in these values.
Théorie des écoulements à potentiel de vitessevignette|Diagrammes plan d'écoulement des fluides autour d'un cylindre et d'un profil d'aile En mécanique des fluides, la théorie des écoulements à potentiel de vitesse est une théorie des écoulements de fluide où la viscosité est négligée. Elle est très employée en hydrodynamique. La théorie se propose de résoudre les équations de Navier-Stokes dans les conditions suivantes : l'écoulement est stationnaire le fluide n'est pas visqueux il n'y a pas d'action externe (flux de chaleur, électromagnétisme, gravité .
