Séance de cours

Approches dynamiques de la théorie spectrale des opérateurs

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Description

Cette séance de cours explore les approches dynamiques de la théorie spectrale des opérateurs, en mettant l'accent sur les opérateurs auto-adjoints et les opérateurs Schrödinger avec des potentiels définis dynamiquement. Il couvre une brève histoire du sujet, y compris les développements clés de Goldshad-Molchanov, Pastur, et d'autres. La séance de cours s'inscrit dans l'enquête de D. Fillman, en discutant des aspects ergonomiques et presque périodiques. Elle touche également à l'évolution des équations de Schrödinger et au concept d'opérateurs auto-adjoints. Différents exemples et exercices sont présentés pour illustrer les concepts théoriques discutés.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse fonctionnelle (mathématiques)

Physique

Mécanique quantique: Postulats de la mécanique quantique

Systems science and engineering

Théorie générale des systèmes: Théorie du chaos

Concepts associés (32)

Opérateur borné

En mathématiques, la notion d'opérateur borné est un concept d'analyse fonctionnelle. Il s'agit d'une application linéaire L entre deux espaces vectoriels normés X et Y telle que l'image de la boule unité de X est une partie bornée de Y. On montre qu'ils s'identifient aux applications linéaires continues de X dans Y. L'ensemble des opérateurs bornés est muni d'une norme issue des normes de X et de Y, la norme d'opérateur. Une application linéaire L entre les espaces vectoriels normés X et Y est appelée opérateur borné quand l'ensemble est borné.

Opérateur non borné

En analyse fonctionnelle, un opérateur non borné est une application linéaire partiellement définie. Plus précisément, soient X, Y deux espaces vectoriels. Un tel opérateur est donné par un sous-espace dom(T) de X et une application linéaire dont l'ensemble de définition est dom(T) et l'ensemble d'arrivée est Y. Considérons X = Y = L(R) et l'espace de Sobolev H(R) des fonctions de carré intégrable dont la dérivée au sens des distributions appartient, elle aussi, à L(R).

Momentum operator

In quantum mechanics, the momentum operator is the operator associated with the linear momentum. The momentum operator is, in the position representation, an example of a differential operator. For the case of one particle in one spatial dimension, the definition is: where ħ is Planck's reduced constant, i the imaginary unit, x is the spatial coordinate, and a partial derivative (denoted by ) is used instead of a total derivative (d/dx) since the wave function is also a function of time. The "hat" indicates an operator.

Endomorphisme autoadjoint

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien.

Potentiel de repos

Le potentiel de repos membranaire (RMP, pour l'anglais resting membrane potential) est le potentiel électrochimique de membrane de la membrane plasmique d'une cellule excitable lorsqu'elle est au repos ; c'est un des états possibles du potentiel de la membrane. En introduisant une électrode de mesure à l'intérieur de la cellule (voir la méthode de patch-clamp), on constate une différence de potentiel : la face interne de la membrane est négative par rapport à une électrode de référence placée sur la face externe de la membrane.

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Séances de cours associées (64)

Bases de la mécanique quantique

Couvre les bases de la mécanique quantique, en se concentrant sur l'opérateur hamiltonien et les équations de Schrdinger.

Mécanique quantique : base spectrale et équation de Schrdinger

Explore la base spectrale, l'équation de Schrdinger, l'équivalence unitaire et les opérateurs auto-adjoints.

Mécanique quantique : Postulats et observables

Explique les postulats de la mécanique quantique et la représentation des observables par les opérateurs.

Physique quantique I

Introduit des concepts clés de la physique quantique tels que les commutateurs, les observables et l'équation de Schrdinger, soulignant l'importance de la diagonalisation et des valeurs propres de l'énergie.

Les postulats de la mécanique quantique

Explique les postulats de Quantum Mechanics, en se concentrant sur les opérateurs auto-adjoints et la notation mathématique.

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Concepts associés (32)

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Opérateur non borné

Momentum operator

Endomorphisme autoadjoint

Potentiel de repos

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