Séance de cours

Mécanique quantique : base spectrale et équation de Schrdinger

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Dans cours

MATH-495: Mathematical quantum mechanics

Quantum mechanics is one of the most successful physical theories. This course presents the mathematical formalism (functional analysis and spectral theory) that underlies quantum mechanics. It is simultaneously an introduction to mathematical physics and ...

Description

Cette séance de cours couvre la preuve de l'existence d'une base spectrale et la solution de l'équation de Schrdinger. Il se penche sur le concept d'équivalence unitaire et la génération d'opérateurs auto-adjoints. L'instructeur démontre le processus de construction d'une base spectrale de manière itérative et les propriétés des groupes unitaires à un paramètre. La séance de cours se termine par la solution unique à l'équation de Schrdinger et la forte continuité des groupes unitaires. Diverses preuves mathématiques et définitions sont fournies pour soutenir les concepts théoriques discutés.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse fonctionnelle (mathématiques)

Concepts associés (32)

Endomorphisme autoadjoint

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien.

Opérateur non borné

En analyse fonctionnelle, un opérateur non borné est une application linéaire partiellement définie. Plus précisément, soient X, Y deux espaces vectoriels. Un tel opérateur est donné par un sous-espace dom(T) de X et une application linéaire dont l'ensemble de définition est dom(T) et l'ensemble d'arrivée est Y. Considérons X = Y = L(R) et l'espace de Sobolev H(R) des fonctions de carré intégrable dont la dérivée au sens des distributions appartient, elle aussi, à L(R).

Autoadjoint

En mathématiques, un élément x d'une algèbre involutive A est dit autoadjoint si x* = x ; plus généralement, une partie de A est dite autoadjointe si elle est stable par l'involution * (comme la partie {y, y*}, pour tout élément y de A). Sur la C*-algèbre des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H, l'involution est l'application qui à tout opérateur borné associe son adjoint, et les éléments autoadjoints sont appelés les opérateurs autoadjoints.

Opérateur adjoint

En mathématiques, un opérateur adjoint est un opérateur sur un espace préhilbertien qui est défini, lorsque c'est possible, à partir d'un autre opérateur a et que l'on note a*. On dit aussi que a* est l'adjoint de a. Cet opérateur adjoint permet de faire passer l'opérateur a de la partie gauche du produit scalaire définissant l'espace préhilbertien à la partie droite du produit scalaire. Il s'agit donc d'une généralisation de la notion de matrice adjointe à des espaces de dimension infinie.

Démonstration (logique et mathématiques)

vignette| : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique. En mathématiques et en logique, une démonstration est un ensemble structuré d'étapes correctes de raisonnement. Dans une démonstration, chaque étape est soit un axiome (un fait acquis), soit l'application d'une règle qui permet d'affirmer qu'une proposition, la conclusion, est une conséquence logique d'une ou plusieurs autres propositions, les prémisses de la règle.

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Séances de cours associées (64)

Mécanique quantique : Postulats et observables

Explique les postulats de la mécanique quantique et la représentation des observables par les opérateurs.

Théorème de représentation d'Herglotz

Couvre le théorème de représentation d'Hergloz et la construction de la mesure à valeur de projection.

Les postulats de la mécanique quantique

Explique les postulats de Quantum Mechanics, en se concentrant sur les opérateurs auto-adjoints et la notation mathématique.

Postulat de mesure quantique

Explore la vérification des propriétés PVM et le théorème spectral pour les opérateurs illimités en mécanique quantique.

Groupe unitaire et types spectraux

Couvre la preuve de l'unicité du groupe unitaire et des types spectraux.

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Concepts associés (32)

Endomorphisme autoadjoint

Opérateur non borné

Autoadjoint

Opérateur adjoint

Démonstration (logique et mathématiques)

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