Opérateur borné

En mathématiques, la notion d'opérateur borné est un concept d'analyse fonctionnelle. Il s'agit d'une application linéaire L entre deux espaces vectoriels normés X et Y telle que l'image de la boule unité de X est une partie bornée de Y. On montre qu'ils s'identifient aux applications linéaires continues de X dans Y. L'ensemble des opérateurs bornés est muni d'une norme issue des normes de X et de Y, la norme d'opérateur. Une application linéaire L entre les espaces vectoriels normés X et Y est appelée opérateur borné quand l'ensemble est borné. En d'autres termes, il existe un réel M strictement positif pour lequel, pour tout u appartenant à X, l'inégalité suivante est réalisée Le plus petit des majorants M convenable est appelé norme d'opérateur de L, et noté , ou plus simplement . Cette définition peut être reformulée de plusieurs façons. Ainsi une application linéaire L de X dans Y est dite bornée quand l'image de la boule unité B est bornée, et est le rayon de la plus petite boule de Y contenant les images des éléments de B. Ou encore, en utilisant la linéarité, un opérateur est borné si et seulement s'il s'agit d'une application lipschitzienne, et est alors sa constante de Lipschitz. L'expression « opérateur borné » ne doit pas induire en erreur, il ne s'agit pas d'une fonction bornée de X dans Y, mais bien plutôt d'une fonction localement bornée. Un opérateur L entre deux espaces vectoriels normés X et Y est borné si et seulement s'il est continu en 0, ou encore si et seulement s'il est continu sur X. Une application linéaire entre espaces vectoriels normés de dimension finie est toujours un opérateur borné. Plus généralement, c'est le cas de toutes les applications linéaires pour lesquelles l'espace de départ est de dimension finie. Sur l'espace vectoriel des polynômes , en prenant pour norme le maximum des valeurs absolues des coefficients, la forme linéaire L qui à un polynôme P associe P(2) n'est pas continue : elle n'est pas bornée puisque L(X) = 2.