Transformations de LorentzCet article présente les transformations de Lorentz sous un aspect technique. Le lecteur désireux d'obtenir des informations physiques plus générales à ce sujet pourra se référer à l'article Relativité restreinte. thumb|Hendrik Lorentz en 1916. Les transformations de Lorentz sont des transformations linéaires des coordonnées d'un point de l'espace-temps de Minkowski à quatre dimensions.
Covariance de Lorentzvignette|Illustration de l'espace-temps. En relativité restreinte, une quantité est dite covariante de Lorentz lorsque ses composantes forment une représentation du groupe de Lorentz. Par exemple le temps propre se transforme de façon particulièrement simple puisqu'il est invariant sous transformation de Lorentz, on dit que c'est une quantité scalaire et on parle de scalaire de Lorentz. La représentation associée du groupe de Lorentz est la représentation triviale.
Facteur de LorentzLe facteur de Lorentz est un paramètre-clé intervenant dans de nombreuses formules de la relativité restreinte. Il s’agit du facteur par lequel le temps, les longueurs et la masse relativistes changent pour un objet tandis que cet objet est en mouvement. Le facteur de Lorentz () est ainsi nommé en l'honneur du mathématicien et physicien néerlandais Hendrik Antoon Lorentz, lauréat du prix Nobel de physique en 1902, qui l'a introduit en 1904 comme rapport de proportionnalité entre deux temps, le temps vrai et le temps local, mais qui apparaissait dans ses travaux antérieurs de 1895 comme rapport de deux longueurs.
History of Lorentz transformationsThe history of Lorentz transformations comprises the development of linear transformations forming the Lorentz group or Poincaré group preserving the Lorentz interval and the Minkowski inner product . In mathematics, transformations equivalent to what was later known as Lorentz transformations in various dimensions were discussed in the 19th century in relation to the theory of quadratic forms, hyperbolic geometry, Möbius geometry, and sphere geometry, which is connected to the fact that the group of motions in hyperbolic space, the Möbius group or projective special linear group, and the Laguerre group are isomorphic to the Lorentz group.
Théorie de l'éther de LorentzLa théorie de l'éther de Lorentz (également connue sous les appellations de « nouvelle mécanique », « électrodynamique de Lorentz », « théorie des électrons de Lorentz », « théorie de la relativité de Lorentz-Poincaré », en anglais : Lorentz ether theory, abrégé en LET) est le point final du développement du modèle de l'éther luminifère, milieu dans lequel des ondes lumineuses se propagent comme des ondes se propagent sur l’eau ou comme les ondes sonores dans la matière.
Groupe de LorentzLe groupe de Lorentz est le groupe mathématique constitué par l'ensemble des transformations de Lorentz de l'espace de Minkowski. Les formules mathématiques : des lois de la cinématique de la relativité restreinte ; des équations de champ de Maxwell dans la théorie de électromagnétisme ; de l'équation de Dirac dans la théorie de l'électron sont toutes invariantes sous les transformations de Lorentz. En conséquence, le groupe de Lorentz exprimerait la symétrie fondamentale de plusieurs lois de la nature.
Groupe de Poincaré (transformations)Le groupe de Poincaré ou symétrie de Poincaré est l'ensemble des isométries de l'espace-temps de Minkowski. Il a la propriété d'être un groupe de Lie non compact à 10 dimensions. Sa version complète inclut quatre types de symétrie : les translations (c'est-à-dire les déplacements) dans le temps et l'espace, formant le groupe de Lie abélien des translations sur l'espace-temps ; les rotations dans l'espace, qui forment le groupe de Lie non abélien des rotations tridimensionnelles ; les transformations de Lorentz propres et orthochrones, laissant inchangés le sens du temps et l'orientation de l'espace ; le renversement du temps T et la parité P (renversement des coordonnées d'espace), qui forment un groupe discret (Id ; T ; P ; PT).
Semisimple Lie algebraIn mathematics, a Lie algebra is semisimple if it is a direct sum of simple Lie algebras. (A simple Lie algebra is a non-abelian Lie algebra without any non-zero proper ideals). Throughout the article, unless otherwise stated, a Lie algebra is a finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0. For such a Lie algebra , if nonzero, the following conditions are equivalent: is semisimple; the Killing form, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is non-degenerate; has no non-zero abelian ideals; has no non-zero solvable ideals; the radical (maximal solvable ideal) of is zero.
Représentation d'algèbre de LieEn mathématiques, une représentation d'une algèbre de Lie est une façon d'écrire cette algèbre comme une algèbre de matrices, ou plus généralement d'endomorphismes d'un espace vectoriel, avec le crochet de Lie donné par le commutateur. Algèbre de Lie Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant .
Lie group–Lie algebra correspondenceIn mathematics, Lie group–Lie algebra correspondence allows one to correspond a Lie group to a Lie algebra or vice versa, and study the conditions for such a relationship. Lie groups that are isomorphic to each other have Lie algebras that are isomorphic to each other, but the converse is not necessarily true. One obvious counterexample is and (see real coordinate space and the circle group respectively) which are non-isomorphic to each other as Lie groups but their Lie algebras are isomorphic to each other.
Affine Lie algebraIn mathematics, an affine Lie algebra is an infinite-dimensional Lie algebra that is constructed in a canonical fashion out of a finite-dimensional simple Lie algebra. Given an affine Lie algebra, one can also form the associated affine Kac-Moody algebra, as described below. From a purely mathematical point of view, affine Lie algebras are interesting because their representation theory, like representation theory of finite-dimensional semisimple Lie algebras, is much better understood than that of general Kac–Moody algebras.
Invariance de LorentzL' est la propriété d'une quantité physique d'être inchangée par transformation de Lorentz. Il s'agit de quantités physiques qui, lorsqu'elles sont exprimées de manière tensorielle, sont des scalaires ou pseudoscalaires. L' est une des trois hypothèses composant le principe d'équivalence d'Einstein. Dans les cadres de la relativité restreinte et donc de la relativité générale, une quantité est dite invariante de Lorentz, scalaire de Lorentz ou encore invariante relativiste, lorsqu'elle n'est pas modifiée sous l'application d'une transformation de Lorentz.
Algèbre de LieEn mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, alternée, et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps. Soit K un corps commutatif. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel sur K muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Le produit est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de et .
Groupe fondamentalEn mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe fondamental, ou groupe de Poincaré, est un invariant topologique. Le groupe fondamental d'un espace topologique pointé (X, d) est, par définition, l'ensemble des classes d'homotopie de lacets (chemins fermés) de X de base d. C'est un groupe dont la loi de composition interne est induite par la concaténation (juxtaposition) des arcs. L'examen des groupes fondamentaux permet de prouver que deux espaces particuliers ne peuvent être homéomorphes (c'est-à-dire topologiquement équivalents).
Relativité restreinteLa relativité restreinte est la théorie élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques de la relativité galiléenne et du principe selon lequel la vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens (ou inertiels), ce qui était implicitement énoncé dans les équations de Maxwell (mais interprété bien différemment jusque-là, avec « l'espace absolu » de Newton et léther).
Histoire de la relativité restreinteL’histoire de la relativité restreinte décrit le développement de propositions et constatations empiriques et conceptuelles, au sein de la physique théorique, qui ont permis d’aboutir à une nouvelle compréhension de l’espace et du temps. Cette théorie, nommée « relativité restreinte », se distingue des travaux ultérieurs d'Albert Einstein, appelés « relativité générale ». Dans ses Principia mathematica, publiés pour la première fois en 1687 et qui influencent la physique pendant 200 ans, Isaac Newton postule les notions d'espace et de temps absolus et pose la théorie corpusculaire de la lumière.
Contraction des longueursEn relativité restreinte, la contraction des longueurs désigne la loi suivant laquelle la mesure de la longueur d'un objet en mouvement est diminuée par rapport à la mesure faite dans le référentiel où l'objet est immobile, du fait, notamment, de la relativité de la simultanéité d'un référentiel à l'autre. Toutefois, seule la mesure de la longueur parallèle à la vitesse est contractée, les mesures perpendiculaires à la vitesse ne changent pas d'un référentiel à l'autre. En relativité générale, une contraction des longueurs est aussi prédite.
Simple Lie groupIn mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group G which does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces. Together with the commutative Lie group of the real numbers, , and that of the unit-magnitude complex numbers, U(1) (the unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension.
Groupe orthogonalEn mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré n, noté O(n), est le groupe des transformations géométriques d'un espace Euclidien de dimension n qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur E, espace vectoriel sur un corps commutatif K, comme le sous-groupe du groupe linéaire GL(E) constitué des automorphismes f de E qui laissent q invariante : pour tout vecteur x de E.
Groupe résolubleEn mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions. Théorème d'Abel (algèbre) La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, ).
