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Calcul fonctionnel : Opérateurs auto-adjoints

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Dans cours

MATH-495: Mathematical quantum mechanics

Quantum mechanics is one of the most successful physical theories. This course presents the mathematical formalism (functional analysis and spectral theory) that underlies quantum mechanics. It is simultaneously an introduction to mathematical physics and ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept d'opérateurs auto-adjoints, y compris le critère de Weyl et la motivation pour le calcul fonctionnel. L'instructeur explique la relation entre les opérateurs symétriques et le spectre réel, en utilisant des exemples comme l'opérateur Schrdinger. La séance de cours progresse pour discuter de l'inverse du spectre et de la résolution des opérateurs. L'importance des opérateurs auto-adjoints par rapport aux opérateurs symétriques est mise en évidence, ce qui conduit à l'introduction du calcul fonctionnel. La présentation suit l'ordre chronologique des diapositives, en commençant par la définition des opérateurs auto-adjoints et en terminant par la nécessité d'une théorie pour les versions générales du calcul fonctionnel.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse fonctionnelle (mathématiques)

Concepts associés (32)

Endomorphisme autoadjoint

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien.

Spectre d'un opérateur linéaire

En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, le spectre d'un opérateur linéaire sur un espace vectoriel topologique est l'ensemble de ses valeurs spectrales. En dimension finie, cet ensemble se réduit à l'ensemble des valeurs propres de cet endomorphisme, ou de sa matrice dans une base. En et en mécanique quantique, la notion de spectre s'étend aux opérateurs non bornés fermés. Soit une algèbre de Banach unifère sur le corps des nombres complexes.

Opérateur non borné

En analyse fonctionnelle, un opérateur non borné est une application linéaire partiellement définie. Plus précisément, soient X, Y deux espaces vectoriels. Un tel opérateur est donné par un sous-espace dom(T) de X et une application linéaire dont l'ensemble de définition est dom(T) et l'ensemble d'arrivée est Y. Considérons X = Y = L(R) et l'espace de Sobolev H(R) des fonctions de carré intégrable dont la dérivée au sens des distributions appartient, elle aussi, à L(R).

Extensions of symmetric operators

In functional analysis, one is interested in extensions of symmetric operators acting on a Hilbert space. Of particular importance is the existence, and sometimes explicit constructions, of self-adjoint extensions. This problem arises, for example, when one needs to specify domains of self-adjointness for formal expressions of observables in quantum mechanics. Other applications of solutions to this problem can be seen in various moment problems. This article discusses a few related problems of this type.

Algèbre d'opérateurs

In functional analysis, a branch of mathematics, an operator algebra is an algebra of continuous linear operators on a topological vector space, with the multiplication given by the composition of mappings. The results obtained in the study of operator algebras are often phrased in algebraic terms, while the techniques used are often highly analytic. Although the study of operator algebras is usually classified as a branch of functional analysis, it has direct applications to representation theory, differential geometry, quantum statistical mechanics, quantum information, and quantum field theory.

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Séances de cours associées (64)

Opérateurs Essentiels: Spectre et Résolvable

Couvre les concepts essentiels d'opérateurs adjoints, de spectre et d'ensembles résolvants dans la théorie des opérateurs.

Mécanique quantique : Postulats et observables

Explique les postulats de la mécanique quantique et la représentation des observables par les opérateurs.

Les postulats de la mécanique quantique

Explique les postulats de Quantum Mechanics, en se concentrant sur les opérateurs auto-adjoints et la notation mathématique.

Approches dynamiques de la théorie spectrale des opérateurs

Explore les approches dynamiques de la théorie spectrale des opérateurs, en mettant l'accent sur les opérateurs auto-adjoints et les opérateurs Schrödinger avec des potentiels définis dynamiquement.

Théorie des opérateurs liés sur l'espace de Hilbert

Explore la théorie des opérateurs bornés sur l'espace de Hilbert, y compris les propriétés adjointes et l'auto-adjointité.

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Concepts associés (32)

Endomorphisme autoadjoint

Spectre d'un opérateur linéaire

Opérateur non borné

Extensions of symmetric operators

Algèbre d'opérateurs

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