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Séance de cours

Méthodes probabilistes en combinatoire

Dans cours

MATH-467: Probabilistic methods in combinatorics

The 'probabilistic method' is a fundamental tool in combinatorics. The basic idea is as follows: to prove that an object (for example, graph) with certain properties exists, it suffices to prove that if the object is chosen at random, then it has the desir ...

Description

Cette séance de cours présente le problème Erds-Ko-Rado, qui traite des familles de décors qui se croisent. L'instructeur explique comment déterminer la taille maximale de ces familles et présente des exemples pour illustrer le concept. La séance de cours couvre également le scénario de sélection des bourses d'un groupe de candidats, en se concentrant sur la sélection d'un groupe où aucun individu n'est meilleur que l'ensemble du groupe. Diverses affirmations et probabilités liées aux comparaisons par paires et aux «mauvais événements» sont discutées dans le contexte de la sélection dun gagnant valide. L'instructeur souligne l'importance d'éviter les «scénarios impossibles» dans le processus de sélection.

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Matching in hypergraphs

In graph theory, a matching in a hypergraph is a set of hyperedges, in which every two hyperedges are disjoint. It is an extension of the notion of matching in a graph. Recall that a hypergraph H is a pair (V, E), where V is a set of vertices and E is a set of subsets of V called hyperedges. Each hyperedge may contain one or more vertices. A matching in H is a subset M of E, such that every two hyperedges e_1 and e_2 in M have an empty intersection (have no vertex in common).

Family of sets

In set theory and related branches of mathematics, a collection of subsets of a given set is called a family of subsets of , or a family of sets over More generally, a collection of any sets whatsoever is called a family of sets, set family, or a set system. A family of sets may be defined as a function from a set , known as the index set, to , in which case the sets of the family are indexed by members of .

Hypergraphe

Les hypergraphes sont des objets mathématiques généralisant la notion de graphe. Ils ont été nommés ainsi par Claude Berge dans les années 1960. Les hypergraphes généralisent la notion de graphe non orienté dans le sens où les arêtes ne relient plus un ou deux sommets, mais un nombre quelconque de sommets (compris entre un et le nombre de sommets de l’hypergraphe). Certains théorèmes de la théorie des graphes se généralisent naturellement aux hypergraphes, par exemple le théorème de Ramsey.

Combinatoire

En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements. La combinatoire est en fait présente dans toute l'antiquité en Inde et en Chine. Donald Knuth, dans le volume 4A « Combinatorial Algorithms » de The Art of Computer Programming parle de la génération de n-uplets ; il dit que la génération de motifs combinatoires «a commencé alors que la civilisation elle-même prenait forme» (« began as civilization itself was taking shape»).

Méthode probabiliste

La méthode probabiliste est une méthode non constructive, initialement utilisée en combinatoire et popularisée par Paul Erdős, pour démontrer l'existence d'un type donné d'objet mathématique. Cette méthode a été appliquée à d'autres domaines des mathématiques tels que la théorie des nombres, l'algèbre linéaire et l'analyse réelle. Son principe est de montrer que si l'on prend au hasard des objets d'une catégorie, la probabilité que le résultat soit d'un certain type est plus que zéro.

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Couvre les bases des ensembles et des opérations en mathématiques, des propriétés des ensembles aux opérations avancées.

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Introduit l'appariement bipartite non pondéré et sa solution en utilisant la programmation linéaire et la méthode simplex.

Produit cartésien et induction

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Fonctions: Définitions et notations

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