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Séance de cours

Homologie cellulaire: Applications

Dans cours

MATH-323: Topology III - Homology

Homology is one of the most important tools to study topological spaces and it plays an important role in many fields of mathematics. The aim of this course is to introduce this notion, understand its properties and learn how to compute it. There will be m ...

Description

Cette séance de cours explore comment l'homologie cellulaire peut être appliquée pour calculer des groupes d'homologie, en se concentrant sur des exemples tels que la surface compacte fermée orientable du genre 2 et le plan projectif. L'instructeur montre comment calculer des groupes d'homologie pour différentes surfaces et explique le concept de caractéristique d'Euler, montrant son indépendance du choix d'une structure complexe CW et son invariance d'homotopie.

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Enseignant·e

Leonid Monin

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: Topologie algébrique

Concepts associés (32)

CW-complexe

En topologie algébrique, un CW-complexe est un type d'espace topologique, défini par J. H. C. Whitehead pour répondre aux besoins de la théorie de l'homotopie. L'idée était de travailler sur une classe d'objets plus grande que celle des complexes simpliciaux et possédant de meilleures propriétés du point de vue de la théorie des catégories, mais présentant comme eux des propriétés combinatoires se prêtant aux calculs. Le nom CW provient du qualificatif de l'espace topologique, en anglais : closure-finite weak topology, pour « à fermeture finie » et « topologie faible ».

Homologie singulière

En topologie algébrique, l'homologie singulière est une construction qui permet d'associer à un espace topologique X une suite homologique de groupes abéliens libres ou de modules. Cette association est un invariant topologique non complet, c'est-à-dire que si deux espaces sont homéomorphes alors ils ont mêmes groupes d'homologie singulière en chaque degré mais que la réciproque est fausse. Le théorème de Stokes appliqué à des formes fermées donne des intégrales nulles. Cependant, il se fonde sur une hypothèse cruciale de compacité.

Homologie (mathématiques)

En mathématiques, l'homologie est une manière générale d'associer une séquence d'objets algébriques tels que des groupes abéliens ou des modules à d'autres objets mathématiques tels que des espaces topologiques. Les groupes d'homologie ont été définis à l'origine dans la topologie algébrique. Des constructions similaires sont disponibles dans beaucoup d'autres contextes, tels que l'algèbre abstraite, les groupes, les algèbres de Lie, la théorie de Galois et la géométrie algébrique.

Homologie cellulaire

En mathématiques et plus précisément en topologie algébrique, l'homologie cellulaire est une théorie de l'homologie des CW-complexes. Elle coïncide avec leur homologie singulière et en fournit un moyen de calcul. Si X est un CW-complexe de n-squelette X, les modules d'homologie cellulaire sont définis comme les groupes d'homologie du complexe de chaînes cellulaires Le groupe est le groupe abélien libre dont les générateurs sont les n-cellules de X.

Groupe d'homotopie

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. Première définition Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension . Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .

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Séances de cours associées (32)

Homologie et homotopie

Explore la comparaison de longues séquences exactes pour les vibrations et la relation entre l'homotopie et les groupes d'homologie.

Le théorème topologique de Künneth

Explore le théorème topologique de Künneth, mettant l'accent sur la commutativité et l'équivalence homotopique dans les complexes en chaîne.

Topologie : Classification des surfaces et des groupes fondamentaux

Discute de la classification des surfaces et de leurs groupes fondamentaux en utilisant le théorème de Seifert-van Kampen et les présentations polygonales.

Construction de bars : Groupes d'homologie et espace de classification

Couvre la méthode de construction des barres, les groupes d'homologie, la classification de l'espace, et la formule Hopf.

Théorème d'approximation CW

Explore le théorème d'approximation CW, construisant des complexes CW à partir d'espaces pour assurer l'isomorphisme sur les groupes d'homologie.

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CW-complexe

Homologie singulière

Homologie (mathématiques)

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