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Théorème d'approximation CW

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Dans cours

MATH-497: Topology IV.b - homotopy theory

We propose an introduction to homotopy theory for topological spaces. We define higher homotopy groups and relate them to homology groups. We introduce (co)fibration sequences, loop spaces, and suspensions. We study long exact sequences. We construct Eilen ...

Description

Cette séance de cours couvre le théorème d'approximation CW et la construction des tours Postnikov, en commençant par la définition de la faible équivalence et ses implications pour les groupes d'homotopie. L'instructeur explique le processus de construction d'un complexe CW à partir d'un espace donné, assurant l'isomorphisme et la bijection sur les groupes d'homologie. La séance de cours se penche sur les étapes détaillées du théorème d'approximation CW, y compris le processus d'induction et la construction de cartes entre les espaces. L'instructeur souligne l'importance de faire des choix dans le processus de construction et souligne l'importance de travailler avec des complexes CW en raison de leur composition cellulaire structurée.

Enseignant·e

Jérôme Scherer

Enseignement et PhD Doctorant·es actuel·les Virgile Simon Constantin A dirigé les thèses EPFL de Samuel Lavenir A co-dirigé les thèses EPFL de Kay Remo Werndli, Lyne Moser Cours Topology IV.a - Cohomology rings MATH-506 La cohomologie singulière vient de la dualisation du complexe des chaines singulières. Nous étudions ses propriétés, voyons comment elle acquiert une structure multiplicative, celle d'une algèbre graduée commutative. Une version algébrique, la cohomologie des groupes, est c

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: Topologie algébrique

Concepts associés (32)

Tour de Postnikov

En théorie de l'homotopie, une branche de la topologie algébrique, une tour de Postnikov (ou système de Postnikov) est un objet permettant de reconstruire un espace topologique à partir de ses groupes d'homotopie. Une tour de Postnikov pour un espace X connexe par arcs est un morphisme de X vers une suite d'espaces et d'applications continues, ...→ X →...→ X→ X, tel que chaque application X→X induit des isomorphismes des π pour k ≤ n ; π(X) = 0 pour k > n. Tout CW-complexe connexe possède une telle « tour ».

Théorie de l'homotopie

La théorie de l'homotopie est une branche des mathématiques issue de la topologie algébrique dans laquelle les espaces et applications sont considérés à homotopie près. La notion topologique de déformation est étendue à des contextes algébriques notamment via les structures de complexe différentiel puis d’algèbre A. Étant donné deux équivalences d’homotopie f : X′ → X et g : Y → Y′, l’ensemble des classes d'homotopie des applications continues entre X et Y s’identifie à celui des applications entre X′ et Y′ par composition avec f et g.

Homotopy fiber

In mathematics, especially homotopy theory, the homotopy fiber (sometimes called the mapping fiber) is part of a construction that associates a fibration to an arbitrary continuous function of topological spaces . It acts as a homotopy theoretic kernel of a mapping of topological spaces due to the fact it yields a long exact sequence of homotopy groupsMoreover, the homotopy fiber can be found in other contexts, such as homological algebra, where the distinguished trianglegives a long exact sequence analogous to the long exact sequence of homotopy groups.

Cellular approximation theorem

In algebraic topology, the cellular approximation theorem states that a map between CW-complexes can always be taken to be of a specific type. Concretely, if X and Y are CW-complexes, and f : X → Y is a continuous map, then f is said to be cellular, if f takes the n-skeleton of X to the n-skeleton of Y for all n, i.e. if for all n. The content of the cellular approximation theorem is then that any continuous map f : X → Y between CW-complexes X and Y is homotopic to a cellular map, and if f is already cellular on a subcomplex A of X, then we can furthermore choose the homotopy to be stationary on A.

Groupe d'homotopie

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. Première définition Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension . Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .

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Le théorème topologique de Künneth

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Séquence longue exacte en homotopie

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