Groupe d'homotopie

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. Première définition Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension . Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : . Un élément de est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la -sphère vers le point de référence , la fonction étant définie modulo homotopie relative à . Deuxième définition En identifiant le bord de la boule à un point , on obtient une sphère et chaque élément de se définit par les classes d'homotopie des applications par lesquelles le point base de la sphère se transforme en . On peut dire que les éléments du groupe sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications pour lesquelles on a : . Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier la boule avec le cube de dimension i dans R. La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube est l'application définie par la formule : et Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i ≥ 2. On définit donc un groupe commutatif si i ≥ 2 (cf. ). On obtient le groupe fondamental si i = 1. On a une généralisation des groupes d'homotopie. Soient X un espace topologique, A ⊂ X et x un point de X. Soient Ir = [0, 1]r et Jr = (∂Ir-1 × I) ∪ (Ir-1 × {1}) = ∂Ir \ int(Ir-1 × {0}). Le r-ième groupe d'homotopie relatif est l'ensemble des classes d'homotopie d'applications continues telles que : , , , avec des homotopies de même forme. donc les groupes d'homotopie sont des cas particuliers des groupes d'homotopie relatifs.