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Séquences binomiales et réelles de Newton

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Description

Cette séance de cours couvre le théorème binomial de Newton et l'introduction aux séquences réelles, expliquant les concepts à travers des exemples et des définitions. Il explore également les propriétés des séquences réelles, telles que la limite et la monotonie.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: General topology

Concepts associés (30)

Suite (mathématiques)

vignette|Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes. En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble , cette suite peut être assimilée à une application de dans .

Formule du binôme de Newton

vignette|Visualisation de l'expansion binomiale La formule du binôme de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme ou formule de Newton. Si x et y sont deux éléments d'un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux polynômes, deux matrices carrées de même taille, etc.

Analyse réelle

L'analyse réelle est la branche de l'analyse qui étudie les ensembles de réels et les fonctions de variables réelles. Elle étudie des concepts comme les suites et leurs limites, la continuité, la dérivation, l'intégration et les suites de fonctions. La présentation de l'analyse réelle dans les ouvrages avancés commence habituellement avec des démonstrations simples de résultats de la théorie naïve des ensembles, une définition claire de la notion de fonction, une introduction aux entiers naturels et la démonstration importante du raisonnement par récurrence.

Formule du binôme généralisée

La formule du binôme généralisée permet de développer une puissance complexe d'une somme de deux termes sous forme d'une somme de série et généralise la formule du binôme de Newton et celle du binôme négatif. Dans le cas d'un exposant rationnel, elle a été énoncée sans démonstration par Newton dans ses Principia Mathematica en 1687, puis prouvée par Euler en 1773.

Limite d'une suite

En mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». Cette notion sous-entend l'existence d'une distance (induite par la valeur absolue dans R, par le module dans C, par la norme dans un espace vectoriel normé) mais on verra que l'on peut même s'en passer pourvu qu'on ait une topologie.

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Limite d'une séquence

Explore la limite d'une séquence et ses propriétés de convergence, y compris la limite et la monotonie.

Séquences: Méthode d'induction

Couvre les séquences, la méthode d'induction, Fibonacci, l'inégalité de Bernoulli et la formule binomiale.

Séquences des nombres réels

Explore les séquences de nombres réels, la convergence, les limites, la limite et la monotonicité.

Le Théorème Bolzano-Weierstrass MOOC: Analyse I (partie 3) : Suites de nombres réels I et II MOOC: Analyse I

Explique le Théorème Bolzano-Weierstrass, en indiquant que chaque séquence délimitée a une séquence convergente.

Les bases de l'analyse réelle

Couvre les bases de l'analyse réelle, y compris les limites, les séquences et les fonctions continues.

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