Suite (mathématiques)

vignette|Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes. En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble , cette suite peut être assimilée à une application de dans . On note classiquement une suite , ou en abrégé : . En particulier, on parle de suite « entière », suite « réelle » et suite « complexe », quand est un sous-ensemble de , et , respectivement. Les suites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l'analyse (une suite numérique est l'équivalent discret d'une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, chez Archimède, spécialiste des procédés illimités d'approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d'aires et de volumes, ou en Égypte vers 1700 et plus récemment au dans le procédé d'extraction d'une racine carrée par la méthode de Héron d'Alexandrie : Pour extraire la racine carrée de , choisir une expression arbitraire et prendre la moyenne entre et et recommencer aussi loin que l'on veut le processus précédent En notation moderne, cela définit la suite de nombres telle que et, pour tout entier , . On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du ) avec la méthode des indivisibles (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Roberval). Dans l'Encyclopédie Raisonnée de d'Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence : Suite et série : se dit d'un ordre ou d'une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s'approchant de plus en plus de quelque quantité finie [.