Continuous functionIn mathematics, a continuous function is a function such that a continuous variation (that is a change without jump) of the argument induces a continuous variation of the value of the function. This means that there are no abrupt changes in value, known as discontinuities. More precisely, a function is continuous if arbitrarily small changes in its value can be assured by restricting to sufficiently small changes of its argument. A discontinuous function is a function that is .
Théorème de convergence monotoneEn mathématiques, le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo Levi) est un résultat de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il permet de démontrer le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée. Ce théorème indique que pour une suite croissante de fonctions mesurables positives on a toujours la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de la limite simple. Le théorème autorise donc, pour une telle suite de fonctions, à intervertir les symboles et .
Fonction monotoneEn mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante. Ce concept est tout d'abord apparu en analyse réelle pour les fonctions numériques et a été généralisé ensuite dans le cadre plus abstrait de la théorie des ordres. Intuitivement (voir les figures ci-contre), la représentation graphique d'une fonction monotone sur un intervalle est une courbe qui « monte » constamment ou « descend » constamment.
Limite d'une suiteEn mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». Cette notion sous-entend l'existence d'une distance (induite par la valeur absolue dans R, par le module dans C, par la norme dans un espace vectoriel normé) mais on verra que l'on peut même s'en passer pourvu qu'on ait une topologie.
Suite (mathématiques)vignette|Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes. En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble , cette suite peut être assimilée à une application de dans .
Fonction continue nulle partEn mathématiques, une fonction nulle part continue, également appelée fonction discontinue partout, est une fonction qui n'est continue en aucun point de son domaine. Si f est une fonction définie sur les nombres réels à valeur dans les nombres réels, alors f est nulle part continue si pour chaque point x il existe un tel que pour chaque nous pouvons trouver un point y tel que et . Par conséquent, peu importe à quel point nous nous rapprochons d'un point fixé, il existe des points encore plus proches auxquels la fonction prend des valeurs qui ne sont pas proches.
Continuité uniformeEn topologie, la continuité uniforme (ou l'uniforme continuité) est une propriété plus forte que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou plus généralement les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme. Le contexte typique de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. N.
Limite supérieure et limite inférieurevignette|upright=1.8|Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite (x) est représentée en bleu. En mathématiques, plus précisément en analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.
DérivabilitéUne fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a. Elle est dérivable sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. Elle est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.
Notation for differentiationIn differential calculus, there is no single uniform notation for differentiation. Instead, various notations for the derivative of a function or variable have been proposed by various mathematicians. The usefulness of each notation varies with the context, and it is sometimes advantageous to use more than one notation in a given context. The most common notations for differentiation (and its opposite operation, the antidifferentiation or indefinite integration) are listed below.
Continuous linear operatorIn functional analysis and related areas of mathematics, a continuous linear operator or continuous linear mapping is a continuous linear transformation between topological vector spaces. An operator between two normed spaces is a bounded linear operator if and only if it is a continuous linear operator. Continuous function (topology) and Discontinuous linear map Bounded operator Suppose that is a linear operator between two topological vector spaces (TVSs). The following are equivalent: is continuous.
Support de fonctionLe support d'une fonction ou d'une application est la partie de son ensemble de définition sur laquelle se concentre l'information utile de cette fonction. Pour une fonction numérique, c'est la partie du domaine où elle n'est pas nulle et pour un homéomorphisme ou une permutation, la partie du domaine où elle n'est pas invariante. Soit une fonction à valeurs complexes, définie sur un espace topologique . Définition : On appelle support de , noté , l'adhérence de l'ensemble des points en lesquels la fonction ne s'annule pas.
Notation de Leibnizvignette|Portrait de Gottfried Wilhelm Leibniz En analyse, la notation de Leibniz, nommée en l'honneur de Gottfried Wilhelm Leibniz, consiste en l'usage des notations « d droit » (d) suivies d'une quantité x pour représenter une variation infinitésimale de x, de même que « delta » (Δ) sert à représenter une variation finie. Par extension, c'est une notation couramment utilisée pour écrire les dérivées. En physique, cette notation est interprétée comme une modification infinitésimale (de position, de vitesse.
High-definition videoHigh-definition video (HD video) is video of higher resolution and quality than standard-definition. While there is no standardized meaning for high-definition, generally any video image with considerably more than 480 vertical scan lines (North America) or 576 vertical lines (Europe) is considered high-definition. 480 scan lines is generally the minimum even though the majority of systems greatly exceed that. Images of standard resolution captured at rates faster than normal (60 frames/second North America, 50 fps Europe), by a high-speed camera may be considered high-definition in some contexts.
Haute définitionLa haute définition (HD) désigne une classification d'équipements de télédiffusion et de vidéo numérique ayant une définition d'au moins 1280 par (720p), puis 1920 par 1080 pixels (1080i et 1080p) et par la suite, 2560 par 1440 pixels (1440p). Elle est l'évolution du SDTV. Le terme HD s'étend à l'ensemble des techniques audiovisuelles numériques telles que le HDV (grand public), le HDCam, la télévision (DVB-T, DVB-S, DVB-C), les supports disque Blu-ray, HD DVD, l'enregistrement multimédia sur disque dur, ainsi qu'au stockage de données informatiques.
Notation (mathématiques)On utilise en mathématiques un ensemble de notations pour condenser et formaliser les énoncés et les démonstrations. Ces notations se sont dégagées peu à peu au fil de l'histoire des mathématiques et de l’émergence des concepts associés à ces notations. Elles ne sont pas totalement standardisées. Quand deux traductions d'une notation sont données, l'une est la traduction mot à mot et l'autre est la traduction naturelle. Le présent article traite des notations mathématiques latines.
Intégration (mathématiques)En mathématiques, l'intégration ou calcul intégral est l'une des deux branches du calcul infinitésimal, l'autre étant le calcul différentiel. Les intégrales sont utilisées dans de multiples disciplines scientifiques notamment en physique pour des opérations de mesure de grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux) ou en probabilités. Ses utilités pluridisciplinaires en font un outil scientifique fondamental. C'est la raison pour laquelle l'intégration est souvent abordée dès l'enseignement secondaire.
Semi-continuitéEn analyse mathématique, la semi-continuité est une propriété des fonctions définies sur un espace topologique et à valeurs dans la droite réelle achevée = R ∪ {–∞, +∞} ; il s'agit d'une forme faible de la continuité. Intuitivement, une telle fonction f est dite semi-continue supérieurement en x si, lorsque x est proche de x, f(x) est soit proche de f(x), soit inférieur à f(x). Pour définir semi-continue inférieurement, on remplace « inférieur à » par « supérieur à » dans la définition précédente.
Intégrale elliptiqueLes intégrales elliptiques interviennent dans de nombreux problèmes de physique mathématique : comme par exemple, le calcul de la période d'un pendule aux grandes amplitudes et plus généralement les formes d'équilibre ellipsoïdales des corps en rotation autour d'un axe (planètes, étoiles, goutte d'eau, noyau atomique,...). Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme où est une fonction rationnelle à deux variables, est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et est une constante.
Intégrale curviligneEn géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Γ. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe. Dans cet article, Γ est un arc orienté dans R, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée t ↦ γ(t), avec t ∈ [a, b].
