Espace vectoriel symplectiqueEn algèbre, un espace vectoriel est symplectique quand on le munit d'une forme symplectique, c'est-à-dire une forme bilinéaire alternée et non dégénérée. L'étude de ces espaces vectoriels présente quelques ressemblances avec l'étude des espaces préhilbertiens réels puisqu'on y définit également la notion d'orthogonalité. Mais il y a de fortes différences, ne serait-ce que parce que tout vecteur est orthogonal à lui-même. Les espaces vectoriels symplectiques servent de modèles pour définir les variétés symplectiques, étudiées en géométrie symplectique.
Variété symplectiqueEn mathématiques, une variété symplectique est une variété différentielle munie d'une forme différentielle de degré 2 fermée et non dégénérée, appelée forme symplectique. L'étude des variétés symplectiques relève de la géométrie symplectique. Les variétés symplectiques apparaissent dans les reformulations analytiques abstraites de la mécanique classique utilisant la notion de fibré cotangent d'une variété, notamment dans la reformulation hamiltonnienne, où les configurations d'un système forment une variété dont le fibré cotangent décrit l'espace des phases du système.
Accord (musique)En musique, un accord est un ensemble de notes considéré comme formant un tout du point de vue de l'harmonie. Le plus souvent, ces notes sont simultanées, superposées en un même moment ; mais les accords peuvent aussi s'exprimer par des notes successives, par exemple dans des arpèges. En harmonie tonale, le terme « accord » désigne une combinaison d'au moins trois notes simultanées (deux notes émises simultanément ne constituent pas un accord : il s'agit seulement d'un intervalle ; un accord est donc une superposition de plusieurs intervalles).
Extended chordIn music, extended chords are certain chords (built from thirds) or triads with notes extended, or added, beyond the seventh. Ninth, eleventh, and thirteenth chords are extended chords. The thirteenth is the farthest extension diatonically possible as, by that point, all seven tonal degrees are represented within the chord (the next extension, the fifteenth, is the same as the root of the chord). In practice however, extended chords do not typically use all the chord members; when it is not altered, the fifth is often omitted, as are notes between the seventh and the highest note (i.
Accord barréthumb|Un accord de la majeur joué avec un barré. En musique, un accord barré (ou plus simplement barré) est un type d'accord où il faut utiliser un doigt pour plaquer plusieurs cordes de la guitare ou d'un autre instrument à cordes. Un doigt est disposé perpendiculairement au manche et appuie simultanément sur toutes les cordes afin de les coller contre la touche. Le majeur, l’annulaire et l’auriculaire peuvent se placer sur le manche afin de rajouter d'autres notes composantes de l'accord désiré.
Accord altéréEn harmonie tonale, un accord avec note altérée ou simplement accord altéré, est un accord affecté d'une note étrangère se substituant définitivement à l'une des notes réelles de cet accord, et ce, pendant toute la durée de celui-ci. Cette note étrangère, accidentellement altérée, est une note chromatique, non nécessairement préparée, mais obligatoirement résolue, de manière régulière ou irrégulière. Toute altération, que celle-ci soit ascendante ou descendante, ne produit pas nécessairement un accord nouveau.
N-sphèreEn géométrie, la sphère de dimension n, l'hypersphère ou n-sphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. L'hypersphère constitue un des exemples les plus simples de variété, elle est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien , notée en général . Soient E un espace euclidien de dimension n + 1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.
3-sphèrevignette|300 px|La 3-sphère en rotation, projetée dans R3. En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une 3-sphère est l'analogue d'une sphère en dimension quatre. C'est l'ensemble des points équidistants d'un point central fixé dans un espace euclidien à 4 dimensions. Tout comme une sphère ordinaire (ou 2-sphère) est une surface bidimensionnelle formant la frontière d'une boule en trois dimensions, une 3-sphère est un objet à trois dimensions formant la frontière d'une boule à quatre dimensions.
Sphère de RiemannEn mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté .
Géométrie symplectiqueLa géométrie symplectique est un domaine de la recherche mathématique, s'intéressant à l'origine à une formulation mathématique naturelle de la mécanique classique et développé avec une notion d'entrelacement entre la géométrie différentielle et les systèmes dynamiques, avec des applications en géométrie algébrique, en géométrie riemannienne et en géométrie de contact. Formellement, elle consiste en l'étude des 2-formes différentielles fermées non dégénérées — appelées formes symplectiques — sur les variétés différentielles.
Sphère d'homologieEn topologie algébrique, une sphère d'homologie (ou encore, sphère d'homologie entière) est une variété X de dimension n ≥ 1 qui a les mêmes groupes d'homologie que la n-sphère standard S, à savoir : H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z) et Hi(X,Z) = {0} pour tout autre entier i. Une telle variété X est donc connexe, fermée (i.e. compacte et sans bord), orientable, et avec (à part b0 = 1) un seul nombre de Betti non nul : bn. Les sphères d'homologie rationnelle sont définies de façon analogue, avec l'homologie à coefficients rationnels.
Homologie de FloerL'homologie de Floer est une adaptation de l'homologie de Morse en dimension infinie. L'homologie de Floer symplectique (HFS) est une théorie homologique pour une variété symplectique munie d'un symplectomorphisme non-dégénéré. Si le symplectomorphisme est hamiltonien, l'homologie provient de l'étude de la fonctionnelle d'action symplectique sur le revêtement universel de l'espace des lacets de la variété symplectique. L'homologie de Floer symplectique est invariante par isotopie hamiltonienne du symplectomorphisme.
Sphère exotiqueEn mathématiques, et plus précisément en topologie différentielle, une sphère exotique est une variété différentielle M qui est homéomorphe, mais non difféomorphe, à la n-sphère euclidienne standard. Autrement dit, M est une sphère du point de vue de ses propriétés topologiques, mais sa structure différentielle (qui définit, par exemple, la notion de vecteur tangent) n'est pas la structure usuelle, d'où l'adjectif « exotique ». La n-sphère unité, Sn, est l'ensemble de tous les n+1-uplets (x1, x2, ...
Groupe symplectiqueEn mathématiques, le terme groupe symplectique est utilisé pour désigner deux familles différentes de groupes linéaires. On les note Sp(2n, K) et Sp(n), ce dernier étant parfois nommé groupe compact symplectique pour le distinguer du premier. Cette notation ne fait pas l’unanimité et certains auteurs en utilisent d’autres, différant généralement d’un facteur 2. La notation utilisée dans cet article est en rapport avec la taille des matrices représentant les groupes.
Matrice symplectiqueEn mathématique, une matrice symplectique est une matrice M de taille 2n par 2n (dont les entrées sont typiquement soit des réels soit des complexes) satisfaisant la condition où MT désigne la matrice transposée de M et J est la matrice par blocs antisymétrique définie par : (In étant la matrice identité n×n). On remarque que le déterminant de J vaut 1 et qu'on a l'identité J = −I2n. Toute matrice symplectique est inversible et son inverse est donnée par : De plus, le produit de deux matrices symplectiques est, à nouveau, une matrice symplectique.
Forme de LiouvilleEn géométrie différentielle, la forme de Liouville est une 1-forme différentielle naturelle sur le fibré cotangent d'une variété différentielle. Sa dérivée extérieure est une forme symplectique. Elle joue un rôle central en mécanique classique. L'étude de la géométrie du fibré cotangent revêt une importance significative en géométrie symplectique en raison, notamment, du théorème de Weinstein. Si M est une variété différentielle de dimension n, désigne l'espace total du fibré cotangent de M et peut être regardé comme une variété différentielle de dimension 2n.
Géométrie de contactLa géométrie de contact est la partie de la géométrie différentielle qui étudie les formes et structures de contact. Elle entretient d'étroits liens avec la géométrie symplectique, la géométrie complexe, la théorie des feuilletages de codimension 1 et les systèmes dynamiques. La géométrie de contact classique est née de l'étude de la thermodynamique et de l'optique géométrique. Une structure de contact sur une variété est un champ d'hyperplans c'est-à-dire la donnée, en tout point de la variété, d'un hyperplan dans l'espace tangent.
Espace vectoriel topologiqueEn mathématiques, les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel, avec des relations de compatibilité entre les deux structures. Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert. Un espace vectoriel topologique (« e.v.t.
Groupe topologiqueEn mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire telle que la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues. L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique. Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul : Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupes continu.
Intersection numberIn mathematics, and especially in algebraic geometry, the intersection number generalizes the intuitive notion of counting the number of times two curves intersect to higher dimensions, multiple (more than 2) curves, and accounting properly for tangency. One needs a definition of intersection number in order to state results like Bézout's theorem. The intersection number is obvious in certain cases, such as the intersection of the x- and y-axes in a plane, which should be one.
