Groupe symplectique

En mathématiques, le terme groupe symplectique est utilisé pour désigner deux familles différentes de groupes linéaires. On les note Sp(2n, K) et Sp(n), ce dernier étant parfois nommé groupe compact symplectique pour le distinguer du premier. Cette notation ne fait pas l’unanimité et certains auteurs en utilisent d’autres, différant généralement d’un facteur 2. La notation utilisée dans cet article est en rapport avec la taille des matrices représentant les groupes. Un groupe symplectique est un sous-groupe du groupe général linéaire laissant invariante une forme bilinéaire alternée. De façon plus abstraite, sur un corps commutatif K de caractéristique différente de 2, le groupe symplectique de degré 2n, noté Sp(2n, K), peut être défini comme l'ensemble des automorphismes d'un K-espace vectoriel symplectique E de dimension 2n, c'est-à-dire des transformations linéaires bijectives de l'espace vectoriel E préservant une forme bilinéaire non dégénérée antisymétrique fixée. Sp(2n, K) est le groupe des matrices symplectiques 2n×2n à coefficients dans K, muni de la multiplication matricielle. Comme toutes les matrices symplectiques ont pour déterminant 1, le groupe symplectique est un sous-groupe du groupe spécial linéaire SL(2n, K). Si n = 1, la condition symplectique sur une matrice est satisfaite si et seulement si son déterminant est égal à 1, si bien que Sp(2, K) = SL(2, K). Pour n > 1, d’autres conditions s’y ajoutent. Typiquement, le corps K est le corps des nombres réels R ou des nombres complexes C. Dans ce cas, Sp(2n, K) est un groupe de Lie réel ou complexe, de dimension réelle ou complexe n(2n + 1). Ces groupes sont connexes mais pas compacts. Sp(2n,C) est simplement connexe tandis que Sp(2n,R) possède un groupe fondamental isomorphe à Z. L’algèbre de Lie de Sp(2n, K) est donnée par l’ensemble des matrices 2n×2n réelles ou complexes A satisfaisant : où A est la transposée de A et J est une matrice antisymétrique, par exemple Le groupe symplectique Sp(n) est le sous-groupe du groupe GL(n,H) des matrices quaternioniques inversibles préservant la forme hermitienne standard sur H : C’est-à-dire que Sp(n) est simplement le groupe unitaire quaternionique U(n,H).