Séance de cours

Décompositions purement inséparables

Graph Chat

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.

Dans cours

MATH-215: Algèbre III - anneaux et corps

This is an introductory course in ring and field theory. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de décompositions purement inséparables, où un élément est purement inséparable si son polynôme minimal est de la forme x p - a pour quelque p premier. Il traite également des extensions inséparables, des extensions séparables et des fermetures algébriques. L'instructeur explique la propriété Galois, qui caractérise les extensions séparables, et introduit la notion de clôtures algébriques dans le contexte des fermetures algébriques.

Enseignant·e

Zsolt Patakfalvi

See CV here .

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Polynôme

Concepts associés (31)

Separable polynomial

In mathematics, a polynomial P(X) over a given field K is separable if its roots are distinct in an algebraic closure of K, that is, the number of distinct roots is equal to the degree of the polynomial. This concept is closely related to square-free polynomial. If K is a perfect field then the two concepts coincide. In general, P(X) is separable if and only if it is square-free over any field that contains K, which holds if and only if P(X) is coprime to its formal derivative D P(X).

Théorie de Galois

En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois. Cette méthode féconde, qui constitue l'exemple historique, a essaimé dans bien d'autres branches des mathématiques, avec par exemple la théorie de Galois différentielle, ou la théorie de Galois des revêtements. Cette théorie est née de l'étude par Évariste Galois des équations algébriques.

Groupe de Galois

En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d'une extension de corps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L laissant K invariant. Le groupe de Galois est souvent noté Gal(L/K). Si l'extension possède de bonnes propriétés, c’est-à-dire si elle est séparable et normale, on parle alors d'extension de Galois et les hypothèses du théorème fondamental de la théorie de Galois sont réunies.

Extension de Galois

En mathématiques, une extension de Galois (parfois nommée extension galoisienne) est une extension normale séparable. L'ensemble des automorphismes de l'extension possède une structure de groupe appelée groupe de Galois. Cette structure de groupe caractérise l'extension, ainsi que ses sous-corps. Les extensions de Galois sont des structures largement utilisées pour la démonstration de théorèmes en théorie algébrique des nombres, comme le dernier théorème de Fermat, ou en théorie de Galois pure, comme le théorème d'Abel-Ruffini.

Extension séparable

En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, une extension L d'un corps K est dite séparable si elle est algébrique et si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de K). La séparabilité est une des propriétés des extensions de Galois. Toute extension finie séparable satisfait le théorème de l'élément primitif. Les corps dont toutes les extensions algébriques sont séparables (c'est-à-dire les corps parfaits) sont nombreux.

Afficher plus

Séances de cours associées (64)

Anneaux Dedekind: Factorisation et groupe de classe idéal

Explore les anneaux de Dedekind, la factorisation, le groupe de classe idéal, l'hérédité, les extensions séparables et les propriétés matricielles.

Fondamentaux de la théorie de Galois

Explore les fondamentaux de la théorie de Galois, y compris les éléments séparables, les champs de décomposition et les groupes de Galois, en soulignant l'importance des extensions de degrés finis et de la structure des extensions de Galois.

Lemme de Hensel et théorie des champs

Couvre la preuve du lemme de Hensel et une revue de la théorie des champs, y compris l'approximation de Newton et les nombres complexes p-adiques.

Ramification et structure des extensions finies

Explore la ramification et la structure des extensions finies de Qp, y compris les extensions non-ramifiées et les propriétés de Galois.

Extensions de degrés finis

Couvre le concept d'extensions de degrés finis dans la théorie de Galois, en se concentrant sur les extensions séparables.

Afficher plus

Concepts associés (31)