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Séance de cours

Extensions de degrés finis

Dans cours

MATH-215: Algebra III - rings and fields

This is an introductory course in ring and field theory. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept d'extensions de degrés finis dans la théorie de Galois, en se concentrant sur les extensions séparables et les éléments de décomposition. Il explique l'importance du degré limité et de l'égalité dans ces extensions, avec des exemples et des étapes essentielles.

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Enseignant·e

Zsolt Patakfalvi

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Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Polynôme

Concepts associés (32)

Extension séparable

En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, une extension L d'un corps K est dite séparable si elle est algébrique et si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de K). La séparabilité est une des propriétés des extensions de Galois. Toute extension finie séparable satisfait le théorème de l'élément primitif. Les corps dont toutes les extensions algébriques sont séparables (c'est-à-dire les corps parfaits) sont nombreux.

Extension de corps

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une extension d'un corps commutatif K est un corps L qui contient K comme sous-corps. Par exemple, le corps C des nombres complexes est une extension du corps R des nombres réels, lequel est lui-même une extension du corps Q des nombres rationnels. On note parfois L/K pour indiquer que L est une extension de K. Soit K un corps. Une extension de K est un couple (L, j) où L est un corps et j un morphisme de corps de K dans L (les morphismes de corps étant systématiquement injectifs).

Extension de Galois

En mathématiques, une extension de Galois (parfois nommée extension galoisienne) est une extension normale séparable. L'ensemble des automorphismes de l'extension possède une structure de groupe appelée groupe de Galois. Cette structure de groupe caractérise l'extension, ainsi que ses sous-corps. Les extensions de Galois sont des structures largement utilisées pour la démonstration de théorèmes en théorie algébrique des nombres, comme le dernier théorème de Fermat, ou en théorie de Galois pure, comme le théorème d'Abel-Ruffini.

Separable polynomial

In mathematics, a polynomial P(X) over a given field K is separable if its roots are distinct in an algebraic closure of K, that is, the number of distinct roots is equal to the degree of the polynomial. This concept is closely related to square-free polynomial. If K is a perfect field then the two concepts coincide. In general, P(X) is separable if and only if it is square-free over any field that contains K, which holds if and only if P(X) is coprime to its formal derivative D P(X).

Extension radicielle

Dans la théorie des extensions de corps, à l'opposé des extensions algébriques séparables, il existe les extensions radicielles. C'est un phénomène spécifique à la caractéristique positive et qui apparaît naturellement avec les corps de fonctions en caractéristique positive. Soit une extension de corps de caractéristique . Un élément de est dit radiciel sur s'il existe un entier tel que . Une extension (algébrique) est une extension radicielle si tout élément de est radiciel sur .

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