Séance de cours

Ensembles ouverts et fermés

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Description

Cette séance de cours couvre les concepts d'ensembles ouverts et fermés dans le contexte des nombres réels. Il explique qu'un ensemble est ouvert si, pour chaque élément de l'ensemble, il existe un intervalle ouvert autour de cet élément entièrement contenu dans l'ensemble. Il examine également les ensembles fermés, fournit des exemples et montre comment déterminer si un ensemble est ouvert ou fermé. La séance de cours conclut en soulignant l'importance de définir des ensembles ouverts ou fermés pour assurer la cohérence de l'analyse mathématique.

Dans MOOCs (2)

Analyse I

Ce cours traite de : Partie 1 : Prélude, notions de base, les nombres réels. Partie 2 : Introduction aux nombres complexes. Partie 3 : Suites de nombres réels I et II. Partie 4 : Limite d'une fonction, fonctions continues. Partie 5 : Fonctions continues et fonctions dérivables, la fonction dérivée. Partie 6 : Etudes des fonctions, développements limités. Partie 7 : Intégrales indéfinies et définies, intégration (chapitres choisis).

Analyse I (partie 1) : Prélude, notions de base, les nombres réels

Vous savez calculer la valeur de sin(π/4)? L'identité ln(xy)=ln(x)+ln(y) vous paraît familière? Dans le prélude nous rappelons et approfondissons quelques notions de ce type, en particulier les fonctions trigonométriques sin, cos et tan et leurs propriétés, le concept des fonctions réciproques telles que exp et ln, certaines règles de calcul concernant les puissances, les logarithmes et les racines, les ensembles et les fonctions. Après nous discutons les systèmes de nombres: basé sur la notion "intuitive"

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Concepts associés (32)

Ouvert-fermé

En topologie, un ouvert-fermé est un sous-ensemble d'un espace topologique X qui est à la fois ouvert et fermé. Il peut sembler contre-intuitif que de tels ensembles existent, puisqu'au sens usuel, « ouvert » et « fermé » sont antonymes. Mais au sens mathématique, ces deux notions ne sont pas mutuellement exclusives : une partie de X est dite fermée si son complémentaire dans X est ouvert, donc un ouvert-fermé est simplement un ouvert dont le complémentaire est aussi ouvert.

Nombre réel

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

Applications ouvertes et fermées

En mathématiques, et plus précisément en topologie, une application ouverte est une application entre deux espaces topologiques envoyant les ouverts de l'un vers des ouverts de l'autre. De même, une application fermée envoie les fermés du premier espace vers des fermés du second. Soit deux espaces topologiques X et Y ; on dit qu'une application f de X vers Y est ouverte si pour tout ouvert U de X, l' f(U) est ouverte dans Y ; de même, on dit que f est fermée si pour tout fermé U de X, l'image f(U) est fermée dans Y.

Ouvert (topologie)

En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique. Il existe plusieurs définitions des ouverts suivant le type d'espace concerné. Nous reprenons ici la définition pour le cas le plus général à savoir celui des espaces topologiques.

Fermé (topologie)

En mathématiques, dans un espace topologique E, un fermé est un sous-ensemble de E dont le complémentaire est un ouvert. Toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé (y compris l'ensemble vide ∅, qui est — par définition — la réunion de la famille vide). Toute intersection d'une famille (finie ou infinie) de fermés est un fermé (y compris l'espace E tout entier, qui est — par convention dans ce contexte — l'intersection de la famille vide).

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Séances de cours associées (64)

Nombres réels: Ordre et complétude

Couvre les propriétés des nombres réels, en se concentrant sur l'ordre total et l'exhaustivité, y compris la propriété Archimède et les concepts de supreme et d'infimum.

Propriétés des nombres réels

Explique les propriétés des sous-ensembles de nombres réels, y compris Supremum, Infimum, intervalles, ensembles ouverts et ensembles fermés.

Analyse des frontières

Explore les limites dans des ensembles, les définissant comme des points pas bien séparés de l'ensemble ou de son complément.

Intervalles: Nombres réels MOOC: Analyse I MOOC: Analyse I (partie 1) : Prélude, notions de base, les nombres réels

Explore les intervalles en nombres réels, y compris les intervalles ouverts et fermés, les décimales périodiques et les nombres irrationnels.

Rappel d'analyse: ensembles ouverts et densité

Examine les ensembles ouverts, la densité, les nombres réels, la convergence, les courbes, la continuité et les dérivés en analyse.

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Concepts associés (32)

Ouvert-fermé

Nombre réel

Applications ouvertes et fermées

Ouvert (topologie)

Fermé (topologie)

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