Loi de probabilitéthumb|400px 3 répartitions.png En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard. L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Jeux de dés, tirage de boules dans des urnes et jeu de pile ou face ont été des motivations pour comprendre et prévoir les expériences aléatoires. Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou infini dénombrable.
Variable aléatoirevignette|La valeur d’un dé après un lancer est une variable aléatoire comprise entre 1 et 6. En théorie des probabilités, une variable aléatoire est une variable dont la valeur est déterminée après la réalisation d’un phénomène, expérience ou événement, aléatoire. En voici des exemples : la valeur d’un dé entre 1 et 6 ; le côté de la pièce dans un pile ou face ; le nombre de voitures en attente dans la 2e file d’un télépéage autoroutier ; le jour de semaine de naissance de la prochaine personne que vous rencontrez ; le temps d’attente dans la queue du cinéma ; le poids de la part de tomme que le fromager vous coupe quand vous lui en demandez un quart ; etc.
Convergence de variables aléatoiresDans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence (dans un des sens décrits ci-dessous) de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités utilisé notamment en statistique et dans l'étude des processus stochastiques. Par exemple, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge presque sûrement vers l'espérance commune de ces variables aléatoires (si celle-ci existe).
Variables indépendantes et identiquement distribuéesvignette|upright=1.5|alt=nuage de points|Ce nuage de points représente 500 valeurs aléatoires iid simulées informatiquement. L'ordonnée d'un point est la valeur simulée suivante, dans la liste des 500 valeurs, de la valeur simulée pour l'abscisse du point. En théorie des probabilités et en statistique, des variables indépendantes et identiquement distribuées sont des variables aléatoires qui suivent toutes la même loi de probabilité et sont indépendantes. On dit que ce sont des variables aléatoires iid ou plus simplement des variables iid.
Vecteur aléatoireUn vecteur aléatoire est aussi appelé variable aléatoire multidimensionnelle. Un vecteur aléatoire est une généralisation à n dimensions d'une variable aléatoire réelle. Alors qu'une variable aléatoire réelle est une fonction qui à chaque éventualité fait correspondre un nombre réel, le vecteur aléatoire est une fonction X qui à chaque éventualité fait correspondre un vecteur de : où ω est l'élément générique de Ω, l'espace de toutes les éventualités possibles. Les applications X, ...
Exchangeable random variablesIn statistics, an exchangeable sequence of random variables (also sometimes interchangeable) is a sequence X1, X2, X3, ... (which may be finitely or infinitely long) whose joint probability distribution does not change when the positions in the sequence in which finitely many of them appear are altered. Thus, for example the sequences both have the same joint probability distribution. It is closely related to the use of independent and identically distributed random variables in statistical models.
Distribution of the product of two random variablesA product distribution is a probability distribution constructed as the distribution of the product of random variables having two other known distributions. Given two statistically independent random variables X and Y, the distribution of the random variable Z that is formed as the product is a product distribution. The product distribution is the PDF of the product of sample values. This is not the same as the product of their PDF's yet the concepts are often ambiguously termed as "product of Gaussians".
Loi du χ²En statistiques et en théorie des probabilités, la loi du centrée (prononcé « khi carré » ou « khi-deux ») avec k degrés de liberté est la loi de la somme de carrés de k lois normales centrées réduites indépendantes. La loi du est utilisée en inférence statistique et pour les tests statistiques notamment le test du χ2. La loi du χ2 non centrée généralise la loi du . Soient k variables aléatoires X, ... , X indépendantes suivant la loi normale centrée et réduite, c'est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1.
Loi normaleEn théorie des probabilités et en statistique, les lois normales sont parmi les lois de probabilité les plus utilisées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires. Elles sont en lien avec de nombreux objets mathématiques dont le mouvement brownien, le bruit blanc gaussien ou d'autres lois de probabilité. Elles sont également appelées lois gaussiennes, lois de Gauss ou lois de Laplace-Gauss des noms de Laplace (1749-1827) et Gauss (1777-1855), deux mathématiciens, astronomes et physiciens qui l'ont étudiée.
Degenerate distributionIn mathematics, a degenerate distribution is, according to some, a probability distribution in a space with support only on a manifold of lower dimension, and according to others a distribution with support only at a single point. By the latter definition, it is a deterministic distribution and takes only a single value. Examples include a two-headed coin and rolling a die whose sides all show the same number. This distribution satisfies the definition of "random variable" even though it does not appear random in the everyday sense of the word; hence it is considered degenerate.
Loi GammaEn théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma ou loi Gamma est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives. La famille des distributions Gamma inclut, entre autres, la loi du χ2 et les distributions exponentielles et la distribution d'Erlang. Une distribution Gamma est caractérisée par deux paramètres k et θ et qui affectent respectivement la forme et l'échelle de la représentation graphique de sa fonction de densité.
Loi de StudentEn théorie des probabilités et en statistique, la loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ. Elle est notamment utilisée pour les tests de Student, la construction d'intervalle de confiance et en inférence bayésienne. Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ à k degrés de liberté.
Loi du χ² non centréeEn théorie des probabilités et en statistique, la loi du χ non centrée est une loi de probabilité qui généralise la loi du χ2. Cette loi apparait lors de tests statistiques, par exemple pour le maximum de vraisemblance. Soit X, k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes et variances . Alors la variable aléatoire suit une loi du χ non centrée. Elle dépend de deux paramètres : k qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de X), et λ qui est en lien avec la moyenne des variables X par la formule : est parfois appelé le paramètre de décentralisation.
Hotelling's T-squared distributionIn statistics, particularly in hypothesis testing, the Hotelling's T-squared distribution (T2), proposed by Harold Hotelling, is a multivariate probability distribution that is tightly related to the F-distribution and is most notable for arising as the distribution of a set of sample statistics that are natural generalizations of the statistics underlying the Student's t-distribution. The Hotelling's t-squared statistic (t2) is a generalization of Student's t-statistic that is used in multivariate hypothesis testing.
Loi inverse-gammaDans la Théorie des probabilités et en statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs. Il s'agit de l'inverse d'une variable aléatoire distribuée selon une distribution Gamma. La densité de probabilité de la loi inverse-gamma est définie sur le support par: où est un paramètre de forme et un paramètre d'intensité, c'est-à-dire l'inverse d'un paramètre d'échelle.
Loi uniforme continueEn théorie des probabilités et en statistiques, les lois uniformes continues forment une famille de lois de probabilité à densité. Une telle loi est caractérisée par la propriété suivante : tous les intervalles de même longueur inclus dans le support de la loi ont la même probabilité. Cela se traduit par le fait que la densité de probabilité d'une loi uniforme continue est constante sur son support. Elles constituent donc une généralisation de la notion d'équiprobabilité dans le cas continu pour des variables aléatoires à densité ; le cas discret étant couvert par les lois uniformes discrètes.
Loi de probabilité d'entropie maximaleEn statistique et en théorie de l'information, une loi de probabilité d'entropie maximale a une entropie qui est au moins aussi grande que celle de tous les autres membres d'une classe spécifiée de lois de probabilité. Selon le principe d'entropie maximale, si rien n'est connu sur une loi , sauf qu'elle appartient à une certaine classe (généralement définie en termes de propriétés ou de mesures spécifiées), alors la loi avec la plus grande entropie doit être choisie comme la moins informative par défaut.
Loi gamma-normaleEn théorie des probabilités et en statistiques, la loi gamma-normale (ou Gamma- Gaussienne) est une distribution bivariée continue à quatre paramètres. Elle est la prieure conjuguée de la loi normale de moyenne et variance inconnues. Soit une paire de variable aléatoires (X,T). Si la distribution conditionnelle de X sachant T est normale de moyenne et variance et si la distribution marginale de T est une loi gamma alors (X,T) suit une loi gamma-normale, que l'on note La fonction de densité conjointe de (X,T) a la forme Par définition, la distribution marginale de est une loi gamma.
Loi inverse-χ²En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse- (ou loi du inverse) est la loi de probabilité de la variable aléatoire dont l'inverse suit une loi du χ2. Une variante par changement d'échelle existe également. Cette loi est utilisée en inférence statistique. Si X suit une loi inverse-χ, on notera : . Si X suit une loi du χ2 à degrés de liberté, alors est de loi inverse-χ à degrés de liberté. Sa densité de probabilité est donnée par : où est la fonction gamma et est appelé le nombre de degrés de liberté.
Generalized chi-squared distributionIn probability theory and statistics, the generalized chi-squared distribution (or generalized chi-square distribution) is the distribution of a quadratic form of a multinormal variable (normal vector), or a linear combination of different normal variables and squares of normal variables. Equivalently, it is also a linear sum of independent noncentral chi-square variables and a normal variable. There are several other such generalizations for which the same term is sometimes used; some of them are special cases of the family discussed here, for example the gamma distribution.
