Relation transitiveEn mathématiques, une relation transitive est une relation binaire pour laquelle une suite d'objets reliés consécutivement aboutit à une relation entre le premier et le dernier. Formellement, la propriété de transitivité s'écrit, pour une relation définie sur un ensemble : Une relation binaire non transitive est donc une relation pour laquelle la propriété universelle ci-dessus est fausse, c'est-à-dire qu'il existe un élément en relation avec un deuxième qui lui-même est en relation avec un troisième, sans que le premier soit en relation avec le troisième : C'est le cas de l'orthogonalité de droites, par exemple.
Polynôme symétriqueEn mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme en plusieurs indéterminées, invariant par permutation de ses indéterminées. Ils jouent notamment un rôle dans les relations entre coefficients et racines. Soit A un anneau commutatif unitaire. Un polynôme Q(T, ..., T) en n indéterminées à coefficients dans A est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1, ..., n}, l'égalité suivante est vérifiée : Exemples Pour n = 1, tout polynôme est symétrique.
Ring of symmetric functionsIn algebra and in particular in algebraic combinatorics, the ring of symmetric functions is a specific limit of the rings of symmetric polynomials in n indeterminates, as n goes to infinity. This ring serves as universal structure in which relations between symmetric polynomials can be expressed in a way independent of the number n of indeterminates (but its elements are neither polynomials nor functions). Among other things, this ring plays an important role in the representation theory of the symmetric group.
Clôture (mathématiques)On parle de clôture ou de fermeture en mathématiques dans des contextes très divers. Quelques exemples sont listés ci-dessous. En mathématiques, on dit qu'une partie A d'un ensemble E est stable (ou close) pour une opération définie sur E si cette opération, appliquée à des éléments de A, produit toujours un élément de A. Par exemple, l'ensemble des nombres réels est stable par soustraction, tandis que l'ensemble des entiers naturels ne l'est pas (la différence de deux entiers naturels est parfois un entier relatif strictement négatif).
IntransitivityIn mathematics, intransitivity (sometimes called nontransitivity) is a property of binary relations that are not transitive relations. This may include any relation that is not transitive, or the stronger property of antitransitivity, which describes a relation that is never transitive. A relation is transitive if, whenever it relates some A to some B, and that B to some C, it also relates that A to that C.
Transitive reductionIn the mathematical field of graph theory, a transitive reduction of a directed graph D is another directed graph with the same vertices and as few edges as possible, such that for all pairs of vertices v, w a (directed) path from v to w in D exists if and only if such a path exists in the reduction. Transitive reductions were introduced by , who provided tight bounds on the computational complexity of constructing them. More technically, the reduction is a directed graph that has the same reachability relation as D.
Relation (mathematics)In mathematics, a binary relation on a set may, or may not, hold between two given set members. For example, "is less than" is a relation on the set of natural numbers; it holds e.g. between 1 and 3 (denoted as 1
Théorème fondamental des fonctions symétriquesEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, le théorème fondamental des fonctions symétriques, souvent appelé « théorème fondamental des polynômes symétriques » ou « théorème de Newton », stipule que tout polynôme symétrique en n indéterminées à coefficients dans un anneau (commutatif) A s'exprime de façon unique par une fonction polynomiale des n polynômes symétriques élémentaires. Autrement dit, les n polynômes symétriques élémentaires forment une partie génératrice de l'algèbre des polynômes symétriques en n indéterminées sur A et sont algébriquement indépendants sur A.
Homogeneous relationIn mathematics, a homogeneous relation (also called endorelation) on a set X is a binary relation between X and itself, i.e. it is a subset of the Cartesian product X × X. This is commonly phrased as "a relation on X" or "a (binary) relation over X". An example of a homogeneous relation is the relation of kinship, where the relation is between people. Common types of endorelations include orders, graphs, and equivalences. Specialized studies of order theory and graph theory have developed understanding of endorelations.
Complete homogeneous symmetric polynomialIn mathematics, specifically in algebraic combinatorics and commutative algebra, the complete homogeneous symmetric polynomials are a specific kind of symmetric polynomials. Every symmetric polynomial can be expressed as a polynomial expression in complete homogeneous symmetric polynomials. The complete homogeneous symmetric polynomial of degree k in n variables X1, ..., Xn, written hk for k = 0, 1, 2, ..., is the sum of all monomials of total degree k in the variables.
Borel equivalence relationIn mathematics, a Borel equivalence relation on a Polish space X is an equivalence relation on X that is a Borel subset of X × X (in the product topology). Given Borel equivalence relations E and F on Polish spaces X and Y respectively, one says that E is Borel reducible to F, in symbols E ≤B F, if and only if there is a Borel function Θ : X → Y such that for all x,x' ∈ X, one has x E x' ⇔ Θ(x) F Θ(x').
Relation d'équivalenceEn mathématiques, une relation d'équivalence permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. vignette|upright=1.5|Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « .
Reflexive closureIn mathematics, the reflexive closure of a binary relation on a set is the smallest reflexive relation on that contains A relation is called if it relates every element of to itself. For example, if is a set of distinct numbers and means " is less than ", then the reflexive closure of is the relation " is less than or equal to ". The reflexive closure of a relation on a set is given by In plain English, the reflexive closure of is the union of with the identity relation on As an example, if then the relation is already reflexive by itself, so it does not differ from its reflexive closure.
Relation de toléranceIn universal algebra and lattice theory, a tolerance relation on an algebraic structure is a reflexive symmetric relation that is compatible with all operations of the structure. Thus a tolerance is like a congruence, except that the assumption of transitivity is dropped. On a set, an algebraic structure with empty family of operations, tolerance relations are simply reflexive symmetric relations. A set that possesses a tolerance relation can be described as a tolerance space.
Partial equivalence relationIn mathematics, a partial equivalence relation (often abbreviated as PER, in older literature also called restricted equivalence relation) is a homogeneous binary relation that is symmetric and transitive. If the relation is also reflexive, then the relation is an equivalence relation. Formally, a relation on a set is a PER if it holds for all that: if , then (symmetry) if and , then (transitivity) Another more intuitive definition is that on a set is a PER if there is some subset of such that and is an equivalence relation on .
Représentations du groupe symétriqueEn mathématiques les représentations du groupe symétrique sont un exemple d'application de la théorie des représentations d'un groupe fini. L'analyse de ces représentations est une illustration des concepts comme le théorème de Maschke, les caractères, la représentation régulière, les représentations induites et la réciprocité de Frobenius. L'histoire des représentations du groupe symétrique et du groupe alterné associés, joue un rôle particulier pour la théorie des caractères.
Groupe symétriqueEn mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même. N'est traité dans le présent article, à la suite de la définition générale, que le cas E fini. Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note S(E) ou (ce caractère est un S gothique). Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini {1, 2, .
Relation (mathématiques)Une relation entre objets mathématiques d'un certain domaine est une propriété qu'ont, ou non, entre eux certains de ces objets ; ainsi la relation d'ordre strict, notée « < », définie sur N l'ensemble des entiers naturels : 1 < 2 signifie que 1 est en relation avec 2 par cette relation, et on sait que 1 n'est pas en relation avec 0 par celle-ci. Une relation est très souvent une relation binaire, définie sur un ensemble comme la relation d'ordre strict sur N, ou entre deux ensembles.
Relation ternaireEn mathématiques, une relation ternaire est une relation d'arité 3, de même que les relations binaires, plus courantes, sont d'arité 2. Formellement, une relation ternaire est donc représentée par son graphe, qui est une partie du produit X × Y × Z de trois ensembles X, Y et Z. Le graphe d'une fonction de deux variables f : X × Y → Z, c'est-à-dire l'ensemble des triplets de la forme (x, y, f(x, y)), représente la relation ternaire R définie par : R(x, y, z) si z est l' de (x, y) par f.
Relation binaireEn mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles E et F (ou simplement relation entre E et F) est définie par un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Cette collection est désignée par le graphe de la relation. Les composantes d'un couple appartenant au graphe d'une relation R sont dits en relation par R. Une relation binaire est parfois appelée correspondance entre les deux ensembles.
