En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme en plusieurs indéterminées, invariant par permutation de ses indéterminées. Ils jouent notamment un rôle dans les relations entre coefficients et racines. Soit A un anneau commutatif unitaire. Un polynôme Q(T, ..., T) en n indéterminées à coefficients dans A est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1, ..., n}, l'égalité suivante est vérifiée : Exemples Pour n = 1, tout polynôme est symétrique. Pour n = 2, le polynôme T + T est symétrique alors que le polynôme T + T ne l'est pas. Pour n = 3, le polynôme (T – T)(T – T)(T – T) est symétrique ; Une classe importante de polynômes symétriques est constituée par les sommes de Newton, définies par p(T1, ..., Tn) = T. Les polynômes symétriques forment une sous-A-algèbre associative unitaire de A[T1, ..., Tn]. Une famille génératrice est donnée par les polynômes symétriques élémentaires comme on verra ci-après. Pour 0 ≤ k ≤ n, le k-ième polynôme symétrique élémentaire en n variables, σ(T, ..., T), que nous noterons plus simplement σ(T, ..., T) est la somme de tous les produits de k d'entre ces variables, c'est-à-dire, en notant l'ensemble des combinaisons de k nombres pris dans l'ensemble {1, 2, ..., n} : Ce polynôme est bien symétrique, puisqu'une permutation du groupe symétrique S envoie bijectivement une telle combinaison sur une autre. Exemples si ; Cas n = 3 : , Cas n = 4 : ; Cas n = 4 : . Une définition équivalente des polynômes symétriques élémentaires est : Exemples n = 1 : ; n = 2 : ; n = 3 : . D'après cette définition, si un polynôme unitaire R(X) de degré n en une indéterminée admet une factorisation en facteurs de degré 1, alors les coefficients du polynôme R sont donnés comme fonctions symétriques des racines zi, c'est-à-dire : Pour tout polynôme symétrique Q(T1, ..., Tn) à coefficients dans A, il existe un unique polynôme P en n indéterminées à coefficients dans A tel que Plus formellement : le morphisme d'algèbres est injectif, et a pour image la sous-algèbre des polynômes symétriques.