Clôture (mathématiques)

On parle de clôture ou de fermeture en mathématiques dans des contextes très divers. Quelques exemples sont listés ci-dessous. En mathématiques, on dit qu'une partie A d'un ensemble E est stable (ou close) pour une opération définie sur E si cette opération, appliquée à des éléments de A, produit toujours un élément de A. Par exemple, l'ensemble des nombres réels est stable par soustraction, tandis que l'ensemble des entiers naturels ne l'est pas (la différence de deux entiers naturels est parfois un entier relatif strictement négatif). Un préalable pour parler de structure algébrique est que celle-ci soit close sous les opérations en jeu. Par exemple on ne peut parler de groupe que pour un ensemble muni d'une loi de composition interne, c'est-à-dire d'une opération binaire pour laquelle l'ensemble est clos. Soit L une liste d'opérations. On appelle clôture d'un ensemble S pour les opérations de L à l'intérieur d'un ensemble E donné lui-même clos pour ces opérations, le plus petit sous-ensemble de E contenant S et clos pour les opérations de L. Quand il s'agit bien d'opérations en un sens étroit, des fonctions ayant un nombre fini d'arguments dans E, partout définies, et à valeur dans E, on vérifie que l'intersection de toutes les parties de E closes contenant S et closes sous L définit la clôture de S. Il y a au moins une partie close pour les opérations de L, l'ensemble 'E' lui-même, et donc il est bien possible de définir cette intersection. Le fait d'être clos par les opérations de L est stable par intersection, donc l'ensemble ainsi défini est bien clos sous les opérations de L. Ainsi, la clôture pour la soustraction de l'ensemble des entiers naturels, vu comme sous-ensemble des nombres réels, est l'ensemble des entiers relatifs (dans l'ensemble des réels comme dans n'importe quel groupe additif dont les entiers naturels sont un sous-monoïde). Si on ne suppose pas que la clôture se fait à l'intérieur d'un groupe additif qui « étend » l'addition des entiers naturels et pour la notion de soustraction dans ce groupe additif, il n'y a aucune raison que la clôture donne les entiers relatifs.