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Le Théorème des deux gendarmes

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Description

Cette séance de cours couvre le Théorème des deux gendarmes dans le contexte des séquences de nombres réels, en discutant des conditions dans lesquelles la limite de deux séquences est égale. La preuve consiste à établir des relations entre les séquences et leurs limites, à fournir des exemples et à démontrer l'application du théorème.

Dans MOOCs (2)

Analyse I (partie 3) : Suites de nombres réels I et II

Une suite de nombres réels est une fonction f:N→R . Il est habituel d'écrire an:=f(n) pour la valeur de f en n. Par exemple, on pourrait définir une suite f(n):=an:=12n, c'est-à-dire a0=1,a1=12,a2=14,a3=18,... . Le concept central est celui de la limite d'une suite : c'est un nombre réel auquel, intuitivement, la suite donnée s'approche de plus en plus. Par exemple la suite an donnée en haut admet comme limite le nombre zéro. Nous définirons le concept de la limite d'une manière rigoureuse et déve

Analyse I

Ce cours traite de : Partie 1 : Prélude, notions de base, les nombres réels. Partie 2 : Introduction aux nombres complexes. Partie 3 : Suites de nombres réels I et II. Partie 4 : Limite d'une fonction, fonctions continues. Partie 5 : Fonctions continues et fonctions dérivables, la fonction dérivée. Partie 6 : Etudes des fonctions, développements limités. Partie 7 : Intégrales indéfinies et définies, intégration (chapitres choisis).

Source officielle

Quiz

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: General topology

Concepts associés (32)

Suite (mathématiques)

vignette|Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes. En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble , cette suite peut être assimilée à une application de dans .

Limite d'une suite

En mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». Cette notion sous-entend l'existence d'une distance (induite par la valeur absolue dans R, par le module dans C, par la norme dans un espace vectoriel normé) mais on verra que l'on peut même s'en passer pourvu qu'on ait une topologie.

Nombre réel

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

Droite réelle achevée

En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble ordonné constitué des nombres réels auxquels sont adjoints deux éléments supplémentaires : un plus grand élément, noté +∞ et un plus petit élément, noté –∞. Elle est notée [–∞, +∞], R ∪ {–∞, +∞} ou (notation toutefois ambiguë, car la barre signifie généralement "complémentaire" en théorie des ensembles, ou "adhérence" en topologie). Cet ensemble est très utile en analyse, notamment pour généraliser les formules et théorèmes sur les limites sans avoir à effectuer une disjonction des cas, et dans certaines théories de l'intégration.

Nombre hyperréel

vignette|Représentation des infinitésimaux (ε) et infinis (ω) sur la droite des nombres hyperréels (1/ε = ω)|520x520px En mathématiques, le corps ordonné des nombres hyperréels constitue une extension, notée *R, des nombres réels usuels, permettant de donner un sens rigoureux aux notions de quantité infiniment petite ou infiniment grande. On peut éviter alors l'emploi des passages à la limite et des expressions conditionnées par une valeur ε « aussi petite que l’on veut ».

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Séances de cours associées (64)

Convergence des séquences : définitions et propriétés

Couvre les définitions et les propriétés de la convergence de séquence, y compris les limites, l'unicité et le théorème des deux gendarmes.

Séquences de cauchy MOOC: Analyse I (partie 3) : Suites de nombres réels I et II MOOC: Analyse I

Explore les séquences de Cauchy en nombres réels, les critères de convergence et les définitions limites.

Opérations aux limites

Explore les opérations algébriques sur les limites des séquences et discute de l'unicité des limites et des propriétés des séquences convergentes et divergentes.

Limite d'une séquence MOOC: Analyse I (partie 3) : Suites de nombres réels I et II MOOC: Analyse I

Explique le concept de la limite d'une séquence et son importance dans la convergence.

Limites des séquences

Explore le concept des limites des séquences et leur convergence vers l'infini ou l'infini négatif.

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Concepts associés (32)

Suite (mathématiques)

Limite d'une suite

Nombre réel

Droite réelle achevée

Nombre hyperréel

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