Fonction mesurableSoient E et F des espaces mesurables munis de leurs tribus respectives E et F. Une fonction f : E → F est dite (E, F)-mesurable si la par f de la tribu F est incluse dans E, c'est-à-dire si : L'identité, la composée de deux fonctions mesurables, sont mesurables. Les fonctions mesurables fournissent donc à la classe des espaces mesurables une structure de catégorie. Si F est l'ensemble des réels et si F est sa tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur (E, E).
Fonction étagéeEn mathématiques et en analyse : Une fonction simple est une fonction numérique dont l' est constituée d'un nombre fini de valeurs réelles (ou éventuellement complexes) ; Une fonction étagée est une fonction simple définie sur un espace mesurable et qui est elle-même une fonction mesurable ; Une fonction en escalier est une fonction étagée définie sur l’ensemble des réels et dont les valeurs (réelles) sont constantes sur des intervalles : ce sont donc des fonctions constantes par morceaux.
Intégration par partiesEn mathématiques, l'intégration par parties (parfois abrégée en IPP) est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales. Elle est fréquemment utilisée pour calculer une intégrale (ou une primitive) d'un produit de fonctions. Cette formule peut être considérée comme une version intégrale de la règle du produit. Le mathématicien Brook Taylor a découvert l'intégration par parties, publiant d'abord l'idée en 1715.
Théorème de FubiniEn mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Fubini fournit des informations sur le calcul d'intégrales définies sur des ensembles produits et permet le calcul de telles intégrales. Ce résultat a été introduit par Guido Fubini en 1907. Il indique que sous certaines conditions, pour intégrer une fonction à plusieurs variables, on peut intégrer les variables les unes à la suite des autres.
Intégration par changement de variableEn mathématiques, et plus précisément en analyse, l’intégration par changement de variable est un procédé d'intégration qui consiste à considérer une nouvelle variable d'intégration, pour remplacer une fonction de la variable d'intégration initiale. Ce procédé est un des outils principaux pour le calcul explicite d'intégrales. Il est parfois appelé intégration par substitution en lien avec le nom anglais du procédé. Soient : I un intervalle réel ; φ : [a,b] → I une fonction dérivable, de dérivée intégrable ; f : I → R une fonction continue.
Intégrale de LebesgueEn mathématiques, l’intégrale de Lebesgue désigne à la fois une théorie relative à l'intégration et à la mesure, et le résultat de l'intégration d'une fonction à valeurs réelles définie sur (ou sur ) muni de la mesure de Lebesgue. Généralisant l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue joue un rôle important en analyse, en théorie des probabilités et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques. Dans les cas simples, l'intégrale d'une fonction positive f peut être vue comme l'aire comprise entre l'axe des x (l'axe horizontal) et la courbe de la fonction f.
Intégrale multiplevignette|Fig. 2. Intégrale double comme volume du solide situé entre un domaine du plan xy et la surface image de ce domaine par une fonction. En analyse mathématique, l'intégrale multiple est une forme d'intégrale qui s'applique aux fonctions de plusieurs variables réelles. Les deux principaux outils de calcul sont le changement de variables et le théorème de Fubini. Ce dernier permet de ramener de proche en proche un calcul d'intégrale multiple à des calculs d'intégrales simples, et d'interpréter le « volume » d'un domaine « simple » de dimension n (ou son hypervolume si n > 3) comme l'intégrale d'une fonction de n – 1 variables (Fig.
Provencevignette|Vue de la Mer Méditerranée depuis Toulon La Provence (prononcé dans une large partie de la France, en français de Provence; Provença/Prouvènço en occitan provençal, de l'ancien provençal Provensa, dérivant du latin provincia, "province") est une région historique et culturelle ainsi qu'un ancien État indépendant puis associé à la France. Elle correspond à l'actuelle région Provence-Alpes-Côte d'Azur et au sud de la région Auvergne-Rhône-Alpes.
Aix-en-ProvenceAix-en-Provence (en provençal : Ais) est la capitale historique de la Provence. C'est aujourd'hui une commune française du Sud-Est de la France, dans le département des Bouches-du-Rhône, dont elle est sous-préfecture, en région Provence-Alpes-Côte d'Azur. Elle forme avec le pays d'Aix au sein de la Métropole Aix-Marseille Provence. Les habitants d'Aix s'appellent les Aixois en français (en provençal : lei sestian). Fondée en sous le nom d'Aquae Sextiae par la garnison romaine de Caius Sextius Calvinus, Aix devient par la suite la capitale du comté de Provence.
ThéorèmeEn mathématiques et en logique, un théorème (du grec théorêma, objet digne d'étude) est une assertion qui est démontrée, c'est-à-dire établie comme vraie à partir d'autres assertions déjà démontrées (théorèmes ou autres formes d'assertions) ou des assertions acceptées comme vraies, appelées axiomes. Un théorème se démontre dans un système déductif et est une conséquence logique d'un système d'axiomes. En ce sens, il se distingue d'une loi scientifique, obtenue par l'expérimentation.
Démonstration automatique de théorèmesLa démonstration automatique de théorèmes (DAT) est l'activité d'un logiciel qui démontre une proposition qu'on lui soumet, sans l'aide de l'utilisateur. Les démonstrateurs automatiques de théorème ont résolu des conjectures intéressantes difficiles à établir, certaines ayant échappé aux mathématiciens pendant longtemps ; c'est le cas, par exemple, de la , démontrée en 1996 par le logiciel EQP.
Stokes' theoremStokes' theorem, also known as the Kelvin–Stokes theorem after Lord Kelvin and George Stokes, the fundamental theorem for curls or simply the curl theorem, is a theorem in vector calculus on . Given a vector field, the theorem relates the integral of the curl of the vector field over some surface, to the line integral of the vector field around the boundary of the surface. The classical theorem of Stokes can be stated in one sentence: The line integral of a vector field over a loop is equal to the flux of its curl through the enclosed surface.
Théorème de GreenEn mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann, donne la relation entre une intégrale curviligne le long d'une courbe simple fermée orientée C par morceaux et l'intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe. Ce théorème, nommé d'après George Green et Bernhard Riemann, est un cas particulier du théorème de Stokes. thumb|upright=0.9|Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux. Vu comme cas particulier du théorème de Stokes, le théorème s'écrit sous la forme suivante, en notant ∂D la courbe C et ω la forme différentielle.
Mesure (mathématiques)En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur numérique à certains sous-ensembles d'un ensemble donné. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités. Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire à la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une généralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement.
Vignoble de ProvenceLe vignoble de Provence s'étend du sud d'Avignon jusqu'à Nice, sur la majeure partie de la Provence. Ce vignoble est marqué par une très grande hétérogénéité de situation tant pédo-géologique que climatique avec une dominance du climat méditerranéen strict mais également de zones plus froides où l'influence du vent est déterminante. La culture de la vigne a été introduite sur les rives méditerranéennes de la Gaule par les Grecs de Phocée.
Espace à base dénombrableEn mathématiques, plus précisément en topologie, un espace est dit à base dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. La plupart des espaces usuels de l'analyse et beaucoup d'espaces en analyse fonctionnelle sont à base dénombrable. Tout espace à base dénombrable est à la fois séparable, à bases dénombrables de voisinages et de Lindelöf (en particulier, pour un espace à base dénombrable, les trois propriétés quasi-compact/dénombrablement compact/séquentiellement compact sont équivalentes).
Fonction elliptique de JacobiEn mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.
Fonction trigonométriquethumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. En mathématiques, les fonctions trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, ces fonctions sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle alors fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.
Théorème de Pythagorethumb|right|alt=Triangle rectangle et relation algébrique entre les longueurs de ses côtés.|Relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Il s'énonce fréquemment sous la forme suivante : Si un triangle est rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (ou côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Fonction elliptique de WeierstrassEn analyse complexe, les fonctions elliptiques de Weierstrass forment une classe importante de fonctions elliptiques c'est-à-dire de fonctions méromorphes doublement périodiques. Toute fonction elliptique peut être exprimée à l'aide de celles-ci. Supposons que l'on souhaite fabriquer une telle fonction de période 1. On peut prendre une fonction quelconque, définie sur [0, 1] et telle que f(0) = f(1) et la prolonger convenablement. Un tel procédé a des limites. Par exemple, on obtiendra rarement des fonctions analytiques de cette façon.
