Intégration par changement de variable

En mathématiques, et plus précisément en analyse, l’intégration par changement de variable est un procédé d'intégration qui consiste à considérer une nouvelle variable d'intégration, pour remplacer une fonction de la variable d'intégration initiale. Ce procédé est un des outils principaux pour le calcul explicite d'intégrales. Il est parfois appelé intégration par substitution en lien avec le nom anglais du procédé. Soient : I un intervalle réel ; φ : [a,b] → I une fonction dérivable, de dérivée intégrable ; f : I → R une fonction continue. Alors, Remarquons qu'il n'est pas nécessaire que φ soit injective sur . Par définition, poser avec . s'appelle faire un changement de variable. Lorsque φ est de classe C, cette règle d'intégration se déduit du théorème fondamental de l'analyse et du théorème de dérivation des fonctions composées : voir par exemple le lien en bas de cette page vers le cours sur Wikiversité. Utilisons le théorème pour écrire l'intégrale de f sur dans le cas où φ est une fonction monotone. Si φ est croissante, alors et I est égal à l'intervalle ; l'intégrale de f sur I est alors immédiatement donnée par le théorème. Remarquons aussi que dans ce cas, . Si φ est décroissante, alors et I devient . L'intégrale de f sur I est donc l'opposée de l'intégrale du membre de gauche du théorème. Comme , changer le signe revient dans ce cas à remplacer φ' (dans l'intégrale du membre de gauche du théorème) par sa valeur absolue. On voit ainsi que dans les deux cas on a : C'est cette formule qu'on peut généraliser au cas des intégrales multiples . Soit à calculer On choisit le changement de variable , et donc avec variant de à (on remarquera que n'est pas injective sur cet intervalle) , et est bien continue sur . Par conséquent : Le fait que ne soit pas injective peut amener à des résultats à première vue surprenants : si , on aura ; c'est la raison pour laquelle on préfère souvent prendre bijective, et écrire la formule « dans l'autre sens » : .