Fonction étagée

En mathématiques et en analyse : Une fonction simple est une fonction numérique dont l' est constituée d'un nombre fini de valeurs réelles (ou éventuellement complexes) ; Une fonction étagée est une fonction simple définie sur un espace mesurable et qui est elle-même une fonction mesurable ; Une fonction en escalier est une fonction étagée définie sur l’ensemble des réels et dont les valeurs (réelles) sont constantes sur des intervalles : ce sont donc des fonctions constantes par morceaux. Dans les trois acceptions, chacune de ces fonctions peut s'exprimer comme une combinaison linéaire (donc finie) de fonctions caractéristiques. Ces fonctions jouent un rôle important en théorie de l'intégration : les fonctions étagées pour l'intégrale de Lebesgue ; les fonctions en escalier pour l'intégrale de Riemann et de Kurzweil-Henstock. Pour les fonctions simples (respectivement étagée, en escalier), les propriétés suivantes découlent de la définition et de la propriété précédente : Une fonction simple est une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de la forme où est une suite finie d'ensembles et est une suite finie de valeurs dans (ou ). Parmi les diverses représentations possibles exprimées à l'aide de la relation précédente, il en existe une particulière (qualifiée de canonique) pour laquelle les ensembles sont deux à deux disjoints, les valeurs sont distinctes et non nulles, si et seulement si . La somme ou le produit de deux fonctions simples, ou encore le produit d'une fonction simple par un réel (ou un complexe) sont toujours des fonctions simples. L'ensemble des fonctions simples constitue une (ou )-algèbre commutative, et a fortiori un espace vectoriel. Pour une fonction étagée, donc mesurable et définie sur un espace mesurable , les ensembles de la représentation canonique sont mesurables. 1 : soit f une fonction mesurable positive. Pour tout entier naturel n, [0, +∞] est partagé en N = 2 + 1 sous-intervalles définis par pour 1 ≤ k ≤ N – 1 et On définit les ensembles mesurables A = f (I) pour 1 ≤ k ≤ N.