Dernier théorème de Fermat

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme suit : Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire dans une note marginale de son exemplaire d'un livre de Diophante, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994. C'est surtout par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il a pris une valeur considérable. Dans le cas où n = 1, l'équation x + y = z correspond à l'addition usuelle et a donc une infinité de solutions. Dans le cas où n = 2 cette équation a encore une infinité de solutions en nombres entiers positifs non nuls, les triplets pythagoriciens, dont le plus petit est (3, 4, 5) : 3 + 4 = 5. Le théorème de Fermat-Wiles établit que pour n > 2, cette équation n'a pas de solution en entiers positifs non nuls (les autres solutions, de la forme x + 0 = x, sont souvent appelées solutions triviales). Si l'équation n'a pas de solution (en entiers positifs non nuls) pour un exposant n donné, elle n'en a pour aucun des multiples de n (puisque xkn = (xk)n) et donc il suffit, pour démontrer le théorème général, de le démontrer pour n premier impair et pour n = 4. vignette|droite|La page de l' des Arithmétiques traduite et commentée par Bachet de Méziriac, la question VIII traite des triplets pythagoriciens. C'est sur un exemplaire similaire – non retrouvé – que Fermat a écrit sa note. Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonce en marge d'une traduction (du grec au latin) des Arithmétiques de Diophante, en regard d'un problème ayant trait aux triplets pythagoriciens : . On ignore la destination de ces notes marginales, qui paraissent cependant avoir été réservées au seul usage du mathématicien, même si on peut trouver qu'elles sont écrites « dans un style qui suppose la présence d’un lecteur ».