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Fonctions implicites : Multiplicateurs Extrema et Lagrange

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Description

Cette séance de cours couvre le concept d'extrema sous contraintes, en se concentrant sur la détermination de l'extrema local d'une fonction sous la contrainte g(x, y) = 0. La méthode des multiplicateurs de Lagrange est introduite comme condition nécessaire pour que la fonction ait un extrémum local. La séance de cours explique l'application des multiplicateurs de Lagrange dans la recherche de l'extrema et introduit le Lagrangien du problème de minimisation sous les contraintes. La généralisation aux fonctions de variables multiples est discutée, mettant en évidence les conditions de l'extrema local. Diverses dérivations et preuves mathématiques sont présentées pour illustrer l'application des multiplicateurs Lagrange dans les problèmes d'optimisation.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Calcul infinitésimal

Concepts associés (32)

Extremum

Un extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrémum (pluriel extrémums), est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum. Cette notion est particulièrement utilisée en mathématiques, où l'expression maximo-minimum, introduite par Nicolas de Cues, correspond à partir de Fermat et Leibniz aux extrêmes d'une courbe ou d'une fonction, repérés par le fait que les dérivées s'y annulent. Elle est aussi utilisée en physique, où le principe de moindre action est un principe extrémal ainsi que Euler l'a montré.

Fonction implicite

En mathématiques, une équation entre différentes variables où une variable n'est pas explicitée en fonction des autres est appelée une équation implicite. Une fonction implicite est une fonction qui se déduit implicitement d'une telle équation. Plus précisément si f est une fonction de E × F dans G, où E, F et G sont des espaces vectoriels normés ou plus simplement des intervalles de R, l'équation f(x,y) = 0 définit une fonction implicite si l'on peut exprimer une des variables en fonction de l'autre pour tous les couples (x,y) vérifiant l'équation.

Théorème de Fermat sur les points stationnaires

En analyse réelle, le théorème de Fermat sur les points stationnaires permet, lors de la recherche d'éventuels extrema locaux d'une fonction dérivable, de limiter l'étude aux zéros de sa dérivée et aux bornes de son ensemble de définition. L'énoncé est le suivant : La réciproque est fausse : par exemple, la fonction , en , a une dérivée nulle mais pas d'extremum local. La condition nécessaire pour un extremum local ne s'applique pas aux bornes de l'intervalle. Par exemple, la fonction admet deux extremums globaux (a fortiori locaux), atteints en 0 et 1.

Équations de Lagrange

vignette|Joseph-Louis Lagrange Les équations de Lagrange, découvertes en 1788 par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange, sont une reformulation de la mécanique classique. Il s'agit d'une reformulation de l'équation de Newton, qui ne fait pas intervenir les forces de réaction. Pour cela, on exprime les contraintes que subit la particule étudiée sous la forme d'équations du type : Il n'y a qu'une équation si le mouvement est contraint à une surface, deux s'il est contraint à une courbe.

Point d'inflexion

thumb|Représentation graphique de la fonction x ↦ x montrant un point d'inflexion aux coordonnées (0, 0). thumb|Point d'inflexion de la fonction arc tangente. En mathématiques, et plus précisément en analyse et en géométrie différentielle, un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité d'une courbe plane. En un tel point, la tangente traverse la courbe. C'est pourquoi les points d'inflexion, quand on arrive à les déterminer explicitement, aident à bien représenter l'allure de la courbe.

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Séances de cours associées (64)

Techniques d’optimisation : Extrema local et global

Discute des techniques d'optimisation, en se concentrant sur les extrema locaux et globaux dans les fonctions.

Optimisation : Multiplicateurs Lagrange

Couvre la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour trouver extreme soumis à des contraintes.

Méthodes d'optimisation : Multiplicateurs de lagrange

Couvre les méthodes d'optimisation avancées en utilisant des multiplicateurs Lagrange pour trouver l'extrémité des fonctions soumises à des contraintes.

Théorème des multiplicateurs Lagrange

Couvre le Lagrange Multipliers Theorem et ses applications dans la recherche d'extrema.

Théorème de fonction implicite: Extrema local

Explore le Théorème de Fonction Implicite, l'extrema local, supportant les hyperplans, et les dérivés d'ordre supérieur.

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Fonction implicite

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