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Théorème des multiplicateurs Lagrange

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Description

Cette séance de cours couvre le Théorème des multiplicateurs Lagrange, qui fournit les conditions nécessaires pour un extrémum. Il explique la démonstration du théorème étape par étape, montrant comment trouver l'extrême sous les contraintes. La séance de cours traite également des fonctions implicites, montrant comment trouver l'extrema sans contraintes et comment gérer les fonctions implicites. Il se termine par des exemples et des applications du théorème.

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Concepts associés (24)

Fonction implicite

En mathématiques, une équation entre différentes variables où une variable n'est pas explicitée en fonction des autres est appelée une équation implicite. Une fonction implicite est une fonction qui se déduit implicitement d'une telle équation. Plus précisément si f est une fonction de E × F dans G, où E, F et G sont des espaces vectoriels normés ou plus simplement des intervalles de R, l'équation f(x,y) = 0 définit une fonction implicite si l'on peut exprimer une des variables en fonction de l'autre pour tous les couples (x,y) vérifiant l'équation.

Théorème des fonctions implicites

En mathématiques, le théorème des fonctions implicites est un résultat de géométrie différentielle. Certaines courbes planes sont définies par une équation cartésienne, c'est-à-dire une équation de la forme f(x, y) = 0, où x et y décrivent les nombres réels. Le théorème indique que si la fonction f est suffisamment régulière au voisinage d'un point de la courbe, il existe une fonction φ de R dans R au moins aussi régulière que f telle que localement, la courbe et le graphe de la fonction φ sont confondus.

Optimisation (mathématiques)

L'optimisation est une branche des mathématiques cherchant à modéliser, à analyser et à résoudre analytiquement ou numériquement les problèmes qui consistent à minimiser ou maximiser une fonction sur un ensemble. L’optimisation joue un rôle important en recherche opérationnelle (domaine à la frontière entre l'informatique, les mathématiques et l'économie), dans les mathématiques appliquées (fondamentales pour l'industrie et l'ingénierie), en analyse et en analyse numérique, en statistique pour l’estimation du maximum de vraisemblance d’une distribution, pour la recherche de stratégies dans le cadre de la théorie des jeux, ou encore en théorie du contrôle et de la commande.

Calcul des variations

Le calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Le calcul des variations s'est développé depuis le milieu du jusqu'aujourd'hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950.

Multiplicateur de Lagrange

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, la méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de trouver les points stationnaires (maximum, minimum...) d'une fonction dérivable d'une ou plusieurs variables, sous contraintes. On cherche à trouver l'extremum, un minimum ou un maximum, d'une fonction φ de n variables à valeurs dans les nombres réels, ou encore d'un espace euclidien de dimension n, parmi les points respectant une contrainte, de type ψ(x) = 0 où ψ est une fonction du même ensemble de départ que φ.

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Optimisation avec contraintes : conditions KKT

Couvre les conditions KKT pour l'optimisation avec des contraintes, essentielles pour résoudre efficacement les problèmes d'optimisation.

Optimisation : problèmes de volume

Explore les problèmes de volume contraint en utilisant les multiplicateurs de Lagrange pour trouver des extrema sous contraintes dans divers exemples.

Méthodes d'optimisation : Multiplicateurs de lagrange

Couvre les méthodes d'optimisation avancées en utilisant des multiplicateurs Lagrange pour trouver l'extrémité des fonctions soumises à des contraintes.

Optimisation avec les multiplicateurs Lagrange

Couvre les techniques d'optimisation avancées en utilisant des multiplicateurs Lagrange pour trouver l'extrémité des fonctions soumises à des contraintes.

Fonctions implicites : Multiplicateurs Extrema et Lagrange

Explore extreme sous contraintes en utilisant des multiplicateurs Lagrange pour des problèmes d'optimisation.

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Calcul des variations

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