Point d'inflexion

thumb|Représentation graphique de la fonction x ↦ x montrant un point d'inflexion aux coordonnées (0, 0). thumb|Point d'inflexion de la fonction arc tangente. En mathématiques, et plus précisément en analyse et en géométrie différentielle, un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité d'une courbe plane. En un tel point, la tangente traverse la courbe. C'est pourquoi les points d'inflexion, quand on arrive à les déterminer explicitement, aident à bien représenter l'allure de la courbe. La notion du point d'inflexion indique un changement au second ordre dans la fonction qui peut être identifié par plusieurs notions voisines qui, sous des hypothèses de régularité, sont équivalentes. Si l'on considère les hypothèses suivantes pour la régularité locale de la fonction : la fonction est localement définie et continue, la fonction admet une tangente au point considéré (éventuellement verticale et dans ce cas non dérivable), la fonction est localement 2 fois continûment dérivable à gauche et à droite et localement seul le point considéré peut être une racine de la dérivée seconde, alors les propriétés suivantes sont équivalentes et permettent chacune de définir un point d'inflexion : point où la concavité change, passant du type « convexe » au type « concave » (ou l'inverse) ; point où le graphe d'une fonction coupe la tangente en ce point ; point où la dérivée seconde change de signe (qu'elle existe ou non au point considéré). Soit f une fonction réelle d'une variable réelle, dérivable deux fois au voisinage d'un point x. Alors une condition nécessaire pour que x soit un point d'inflexion de la fonction est que la dérivée seconde s'annule en ce point. Une condition suffisante est alors que f est dérivable trois fois en x, et que la dérivée troisième ne s'annule pas. Plus généralement, s'il existe k impair tel que f est k fois dérivable au voisinage de x et pour ; Alors x est un point d'inflexion de la fonction f. Les points d'inflexion d'un arc plan sont les points où la courbure s'annule en changeant de signe.