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Calcul infinitésimal

Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires : Le calcul différentiel, qui établit une relation entre les variations de plusieurs fonctions, ainsi que la notion de dérivée. La vitesse, l'accélération, et les pentes des courbes des fonctions mathématiques en un point donné peuvent toutes être décrites sur une base symbolique commune, les taux de variation, l'optimisation et les taux liés. Le calcul intégral, qui développe l'idée d'intégration, les techniques d'intégration, fait intervenir le concept d'aire sous-tendue par le graphe d'une fonction, inclut des notions connexes comme le volume, les suites et séries. Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul infinitésimal. Ceci veut dire qu'ils ont une priorité équivalente. Cependant l'approche pédagogique habituelle commence par le calcul différentiel. Histoire du calcul infinitésimal Le développement du calcul infinitésimal est attribué à Archimède, Fermat, Leibniz et Newton. Cependant, lorsque le calcul infinitésimal a été initialement développé, une controverse fut soulevée sur qui en avait la paternité entre Leibniz et Newton, occultant auprès du grand public l'apport de Fermat. L'algorithme du passage à la limite pour calculer la tangente à une courbe est en effet une invention de Fermat (méthode des maxima et minima) en 1636 et était public dès 1667, car rapporté par Huygens à l'Académie des sciences. Les évolutions ultérieures, de Leibniz et Newton (qui étaient en rapport avec Huygens), portent sur les notations. La contribution majeure de Leibniz fut sans conteste son système de notation. La controverse fut cependant malheureuse car elle a divisé pendant de nombreuses années les mathématiciens anglophones et ceux du reste de l'Europe. Cela a retardé le progrès de l'analyse (mathématiques basées sur le calcul infinitésimal) en Grande-Bretagne pendant longtemps.

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Epidemics and Signal Processing[1]¶

                                      [2]Paolo Prandoni, [3]LCAV, EPFL

In [1]: import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import scipy.signal as sp import seaborn as sns sns.set() In [2]: plt.rcParams["figure.figsize"] = (14,4) The basic reproduction number[4]¶ The propagation mechanism of an epidemic such as the one caused by SARS-CoV-2 virus can be roughly modeled, at least in its inital phase, as a process in which each infected individ

Temperature Dependence of the Fermi-Dirac Distribution

This notebook serves to show how the Fermi-Dirac distribution and its derivative change with temperature.\n", " \n", "The Fermi-dirac distribution is

f(E)=\\frac{1}{e^{(E-\\mu)/k_bT}+1}

\n", "\n", "For the purpose of simplicity, we will plot the graph of

f(E-\\mu)

. This allows us to avoid complications connected with

\\mu

being a function of temperature (consult the other notebook for this week or section 2.2.3 in the notes for more details)\n", "\n", "We first define the r

Adaptive Echo Cancellation using LMS Filter

Adaptive Echo Cancellation[1]¶

                                      [2]Paolo Prandoni, [3]LCAV, EPFL

In this notebook we will use the adaptive LMS filter to estimate the impulse response of a reverberating room. A typical use case is handsfree telephony: since the received signal, amplified and played by the speaker, is picked up by the microphone, we need to eliminate it from the signal that is transmitted back in order to avoid a feedback loop. The signal picked up by the microph

Designing FIR Filters Using the Parks-McClellan Algorithm

The Parks-McClellan Filter Design Method[1]¶

                                      [2]Paolo Prandoni, [3]LCAV, EPFL

The Parks-McClellan (PM) algorithm is a clever application of advanced polynomial fitting techniques to the problem of FIR filter design. In this notebook we will explore the key ideas behind the method by considering the design of a simple Type-I lowpass filter. NOTE: This notebook uses interactive widgets. If the interactive controls do not work or show up, please fo

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\\mu

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Potentiel et énergie d une sphère homogène

The electric field created by a homogeneous sphere of radius R, uniformly charged and of total charge Q is :

La Fusée

A rocket contains a fuel mixture that is ejected with a relative speed u with respect to the nozzle. We assume that the fuel escapes vertically towards the bottom of the nozzle. We neglect the air friction and the variation of the gravitational field with height (i.e. we treat g as a constant). The fuel mass is m, and the total mass of the rest of the rocket (tanks, accessories, etc...) is M.

Show that the rocket can only take off if the flow of burned fuel (i.e. the variation of fuel mass per unit

Trajectoire de particule dans un champ électrique

A particle of mass m and of charge qu2004>u20040 is moving under the influence of an uniform magnetic field

{\bf B}=(0,0,B_0)

and of an uniform electric field

{\bf E}=(0,E_0,0)

. At the time tu2004=u20040, the particle is located at

{\bf r}_0=(0,y_0,0)

, where y₀u2004=u2004(mv₀/qB₀), and its velocity is

{\bf v}(t=0)=(v_0 +E_0/B_0,0,0)

. Determine the trajectory of the particle. The particle is subject to the Lorentz force:

Point sur roue

Let us consider a wheel of radius R, of axis A, on a horizontal surface. The point P is located on the edge of the wheel.

Express the position of points A and P in Cartesian coordinates in terms of the parameter ϕ. The origin of the frame corresponds to the point where P touches the ground.
Justify that the point P leaves the ground in a vertical motion. One can use the small angle approximation.
Trace the trajectory of point P using specific points.
The rotation angle ϕ is c

Understanding the Haar Basis for Grayscale Image Compression

A Basis for Grayscale Images[1]¶

                                      [2]Paolo Prandoni, [3]LCAV, EPFL

The concept of "basis" for a vector space is one of the most profound and fruitful ideas in linear algebra. Basis vectors are the "building blocks" that all other vectors are built from; by "disassembling" a vector into a linear combination of basis elements we are able to "look inside" the vector and highlight many of its relevant features. A vector space has an infinite number o

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Low-Rank Optimization Methods Based on Projected Projected-Gradient Descent That Accumulate at Bouligand Stationary Points

Smooth approximation of the minimum function from below (and above)