Séance de cours

Théorie spectrale : Régularité et adhérence

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Dans cours

MATH-405: Harmonic analysis

An introduction to methods of harmonic analysis. Covers convergence of Fourier series, Hilbert transform, Calderon-Zygmund theory, Fourier restriction, and applications to PDE. ...

Description

Cette séance de cours couvre la théorie spectrale des opérateurs, se concentrant sur les propriétés de régularité et l'intégration des théorèmes. Les thèmes incluent la définition des espaces de Sobolev, les fonctions supportées de façon compacte, et la formulation de théorèmes d'intégration. L'instructeur discute des propriétés de désintégration des fonctions, du concept de classes généralisées d'espaces de Sobolev, et des preuves des lemmas clés. La séance de cours se termine par des applications des théorèmes d'intégration et des connexions à l'analyse fonctionnelle.

Source officielle

Concepts associés (22)

Injections de Sobolev

En mathématiques, les inégalités de Sobolev sont des résultats mettant en relation des normes dont celles des espaces de Sobolev. Ces inégalités sont utilisées pour démontrer le théorème de plongement de Sobolev (injection), qui permet d'énoncer des inclusions entre certains espaces de Sobolev, mais aussi le théorème de Rellich – Kondrachov qui montre que dans des conditions légèrement plus fortes, certains espaces de Sobolev peuvent s'injecter de manière compacte dans d'autres espaces.

Distribution de Dirac

En mathématiques, plus précisément en analyse, la distribution de Dirac, aussi appelée par abus de langage fonction δ de Dirac, introduite par Paul Dirac, peut être informellement considérée comme une fonction qui prend une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et dont l'intégrale sur R est égale à 1. La représentation graphique de la « fonction » δ peut être assimilée à l'axe des abscisses en entier et le demi axe des ordonnées positives.

Support de fonction

Le support d'une fonction ou d'une application est la partie de son ensemble de définition sur laquelle se concentre l'information utile de cette fonction. Pour une fonction numérique, c'est la partie du domaine où elle n'est pas nulle et pour un homéomorphisme ou une permutation, la partie du domaine où elle n'est pas invariante. Soit une fonction à valeurs complexes, définie sur un espace topologique . Définition : On appelle support de , noté , l'adhérence de l'ensemble des points en lesquels la fonction ne s'annule pas.

Théorème spectral

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres. vignette|Une illustration du théorème spectral dans le cas fini : un ellipsoïde possède (en général) trois axes de symétrie orthogonaux (notés ici x, y et z).

Théorie spectrale

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une théorie spectrale est une théorie étendant à des opérateurs définis sur des espaces fonctionnels généraux la théorie élémentaire des valeurs propres et des vecteurs propres de matrices. Bien que ces idées viennent au départ du développement de l'algèbre linéaire, elles sont également liées à l'étude des fonctions analytiques, parce que les propriétés spectrales d'un opérateur sont liées à celles de fonctions analytiques sur les valeurs de son spectre.

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Séances de cours associées (43)

Taux de désintégration des particules

Explore les taux de désintégration des particules grâce à la règle d'or de Fermi et à la théorie des perturbations.

Préliminaires en théorie des mesures

Couvre les préliminaires de la théorie de la mesure, y compris les concepts de loc comp, de séparable, d'espace métrique complet et d'étanchéité.

Mécanique quantique : Postulats et observables

Explique les postulats de la mécanique quantique et la représentation des observables par les opérateurs.

Convolution et transformation de Fourier

Explore les propriétés de convolution, l'application de l'équation de chaleur et la transformation de Fourier sur les distributions tempérées.

Formes quadratiques et opérateurs Hecke

Explore les formes quadratiques, les opérateurs Hecke, les valeurs propres et les fonctions supportées de manière compacte dans la théorie des matrices.

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