Théorie spectrale

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une théorie spectrale est une théorie étendant à des opérateurs définis sur des espaces fonctionnels généraux la théorie élémentaire des valeurs propres et des vecteurs propres de matrices. Bien que ces idées viennent au départ du développement de l'algèbre linéaire, elles sont également liées à l'étude des fonctions analytiques, parce que les propriétés spectrales d'un opérateur sont liées à celles de fonctions analytiques sur les valeurs de son spectre. Le nom de théorie spectrale fut introduit par David Hilbert dans sa formulation initiale de la théorie des espaces de Hilbert, énoncée en termes de formes quadratiques à une infinité de variables. Le théorème spectral initial était donc conçu comme une généralisation du théorème définissant les axes principaux d'un ellipsoïde, dans le cas d'un espace de dimension infinie. L'applicabilité, en mécanique quantique, de la théorie spectrale à l'explication d'aspects des spectres d'émission des atomes, fut donc accidentelle. La théorie spectrale a été formulée de trois manières différentes, toujours utilisées actuellement. Après le travail initial de Hilbert, les développements ultérieurs de la théorie des espaces de Hilbert et de la théorie spectrale d'un unique endomorphisme normal accompagnèrent le développement de la physique quantique, particulièrement dans les travaux de von Neumann. La théorie se développa pour inclure celle des algèbres de Banach, et des constructions plus abstraites, amenant à la , couvrant le cas commutatif, et permettant d'aborder l'analyse harmonique non commutative. La différence entre ces approches peut mieux se voir dans le cas de l'analyse de Fourier. La transformation de Fourier sur la droite réelle peut être vue comme la théorie spectrale de la dérivation, considérée comme un opérateur différentiel. Mais pour pouvoir étudier ainsi cet opérateur, il faut envisager de s'intéresser à des distributions propres (par exemple, par l'intermédiaire d'un triplet de Gelfand).